Подразумевается, что ученики знают все аксиомы, теоремы, свойства и формулы планиметрии и могут их использовать при решении задач в любой очерёдности вне зависимости от порядка их изучения.
По данной задаче полагаем, что все знают, что и внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°. Эти факты в большей или меньшей степени мы использовали в разных способах решения задачи.
Ещё оговоримся, что доказательства очевидных фактов мы проводить не будем. Для простоты расчётов будем использовать следующий известный факт.
Если у прямоугольного треугольника с углом в 30° меньший катет обозначить через а, то гипотенуза будет 2а, катет равен . | |
И наоборот. Если гипотенуза – с, то меньший катет – , а больший катет – . | |
А вот если известен больший катет – b, то меньший катет равен , а гипотенуза равна . |
Рассмотрим разные способы решения одной задачи.
1. Формула связи стороны правильного треугольника и радиуса описанной около него окружности | |
Проведём отрезки AE и CE. Получим правильный AEC. Имеем . Откуда или . В дальнейшем ответ будем получать в виде . | |
2. Свойство пересечения медиан равностороннего треугольника | |
В ACE проведём медиану CM=m. . В ACM ACM=30°, AM=5, m= CM= , | |
3. Равносторонний треугольник | |
Проведём отрезок ВО. Рассмотрим ВОС – равносторонний. СМ= 5, , . | |
4. Равнобедренный треугольник | |
Рассмотрим АСО - равнобедренный. Проведём высоту ОК. Проведём ОА. КАО= 30°, , | |
5. Прямоугольный треугольник | |
Проведём АD. АСD - прямоугольный. CAD=30°, . | |
6. Теорема Пифагора | |
В ACD, С= 90°. Обозначим CD= х, тогда AD= 2x. По теореме Пифагора имеем , , , , х . Значит, . | |
7. Прямоугольник | |
Соеденим AF, FD, OD. ACDF – прямоугольник. Опустим перпендикуляр из точки О на сторону АС. COD - правильный, ОСМ= 30°. МС= 5 см, . | |
8. Свойство диагоналей прямоугольника | |
ADCF – прямоугольник. AD и CF – диагонали прямоугольника. Введём переменную х. AO=OD=OC=OF=AF=CD=х, AD=2х, CF=2х. Используем свойство диагоналей прямоугольника. Составим уравнение. . | |
9. Ромб | |
Соединим А и О. АВСО – ромб. Рассмотрим СОН, НС=5, . | |
10. Свойства диагоналей ромба | |
АВСО – ромб. Проведём диагонали АС и ВО. Пусть АВ=ВС=СО=АО=ВО=х. Тогда х2+х2+х2+х2=102+х2, | |
11. Равнобедренная трапеция | |
ABCD – равнобедренная трапеция. CN – высота трапеции. CAN=30o, CN=5. Пусть CD=x, тогда ACN – прямоугольный. Имеем | |
12. Прямоугольная трапеция | |
Проведём AD. АВСК – прямоугольная трапеция. BL – высота трапеции. В АСК В ABL BC=LK=x. AL+LK=AK. . | |
13. Метод площадей. Ромб | |
ABCO – ромб. Приравняем правые части: | |
14. Метод площадей. Треугольник | |
Рассмотрим АВО. АВ=АО=ВО=х. В АОК АК=5, КО=х/2. | |
15. Метод площадей. Прямоугольник | |
ACDF – прямоугольник, CD=x. CO=OD=x. (равновеликие треугольники). | |
16. Метод площадей. Шестиугольник | |
. ABCO, CDEO, AFEO – равные ромбы. . . | |
17. Тригонометрический метод | |
– прямоугольный. | |
18. Теорема косинусов | |
– равнобедренный. , . | |
19. Теорема синусов | |
Из теоремы синусов имеем В | |
20. Метод подобия | |
– прямоугольный. СК – высота, проведенная на гипотенузу. Из . В СD=x, . . | |
21. Радиус описанной окружности около треугольника | |
Рассмотрим . АС=СЕ=АЕ=10. По формуле находим R6. . | |
22. Радиус вписанной окружности в треугольник | |
В впишем окружность с радиусом r. . . . . | |
23. Метод координат. Длина отрезка | |
Через точки А и D проведем ось Ох. Чрез точку О перпендикулярно оси Ох проведем ось Оу. Из АСХ имеем СХ=5. Из ОСХ имеем . Значит, точка С имеет координаты . | |
24. Метод координат. Середина отрезка | |
Через точки А и D проведем ось Ох. Чрез точку А перпендикулярно оси Ох проведем ось Оу. Точка С имеет координаты , а точка F –. . Найдем координаты точки О – середины отрезка CF, заданного координатами концов. . Длина отрезка АО равна абсциссе точки О, т.е. . | |
25. Векторный метод | |
Через точки А и D проведем ось Ох. Чрез точку А перпендикулярно оси Ох проведем ось Оу. Рассмотрим , , . + = (по правилу треугольника) , , = , = . По правилу параллелограмма: = + = = , , Можно найти по формуле = , |
|
|
|
|