Уфа 2012

Теория вероятностей

для всех направлений бакалавриата

УДК 378.517.9

ББК 74.58.22.161.6

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)

Составители: доцент Костенко Н.А.

доцент Авзалова З.Т.

ст. преподаватель Карамов В.И.

доцент Маннанов М.М.

Рецензент: доцент Белобородова Н.Н.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.

Введение

Предлагаются 30 вариантов расчетно-графической работы по теории вероятностей, содержащих по 10 задач каждый. Приведены задачи по следующим темам: классическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса, повторные испытания, дискретные и непрерывные случайные величины.

Задачи N1-5 индивидуальные по указанным темам.

Задачи N6-10 имеют следующие условия:

Задача N6. Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй - вероятности p этих возможных значений). Найти:

1) математическое ожидание М(х);

2) дисперсию D(x);

3) среднее квадратическое отклонение (x). Начертить график закона

распределения и показать на нем вычисленные М(х) и (x).

Задача N7. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна p. Составить закон распределения для случайной величины Х - числа бракованных деталей в выборке из n деталей. Определить вероятность того, что в выборке будет бракованных:

1) ровно k деталей; 2) не более k деталей; 3) ни одной бракованной.

Задача N8. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Требуется найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание М(х), дисперсию D(x). Нарисовать графики функций y = F(x), y = f(x).

Задача N9. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х задана в интервале (a, b), вне этого интервала f(x) равна 0. Найти параметр и функцию распределения F(x).

Задача N10. Найти вероятность попадания в заданный интервал (,) нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание M(x) = m и среднее квадратическое отклонение.

Варианты расчетно-графической работы

Вариант 1

1. Студент идет на экзамен, подготовив только 15 вопросов из 18. Экзаменатор задает студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все три вопроса.

2. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Найти вероятность того, что это число кратно 5.

3. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго - 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что: а) в мишень попадет хотя бы один из стрелков;

б) ни один из стрелков не попадет в мишень.

4. Имеется 10 одинаковых урн, из них три урны с номером 1, в которых находится 7 белых и 8 красных шаров, одна урна с номером два с 1 белым и 9 красными шарами и шесть урн с номером три с 9 белыми и 1 красным шаром. Определить вероятность того, что шар, вынутый из произвольной урны, окажется белым.

5. Книга издана тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.

Х
p	0,1	0,2	0,2	0,5

7. n=6; p=0,2; k=4.

10. =2; =7; m=4; =3.

Вариант 2

1. В урне находятся 15 шаров, пять из которых красные, а остальные белые. Наудачу друг за другом извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что все они будут красными?

2. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число окажется делителем 20?

3. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого - 0,7. Найдите вероятность того, что:

а) только один из стрелков попадет в мишень; б) оба стрелка попадут в мишень.

4. На спартакиаду прибыли 20 лыжников, 15 гимнастов и 5 шахматистов. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника - 0,8, для гимнаста - 0,6, для шахматиста - 0,9. Случайно вызывается один спортсмен. Какова вероятность, что он выполнит норму?

5. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Х
p	0,1	0,1	0,3	0,3	0,2

7. n=3; p=0,7; k=2.

10. =1; =4; m=3; =2.

Вариант 3

1. В урне 9 белых и 1 черный шар. Вынули сразу три шара. Какова вероятность того, что все шары белые?

2. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что это число окажется кратным 5?

3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна p, а для второго - 0,7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найдите p.

4. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго -0,03, для третьего - 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в 3 раза больше, чем второго, а производительность третьего в 2 раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

5. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3 бактерий.

Х
p	0,1	0,3	0,2	0,4

7. n=6; p=0,3; k=2.

10. =5; =9; m=8; =1.

Вариант 4

1. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на предстоящую конференцию. Найти вероятность события А: "будут выбраны одни третьекурсники".

2. Наудачу выбрана кость домино из полного набора. Какова вероятность того, что сумма очков на выбранной кости равна 5?

3. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены три независимые измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в одном измерении допущенная ошибка превысит заданную точность.

4. Имеются два мешка семян одной культуры первой партии всхожестью 90% и один мешок той же культуры второй партии всхожестью 85%. Наудачу взяли

мешок и посадили зерно. Какова вероятность того, что оно взойдет?

5. Производится сортировка стеклянных изделий. Вероятность того, что при этом изделие будет разбито равна 0,001. Найти вероятность того, что из 1000 изделий, подвергнутых сортировке, окажутся разбитыми:

а) 4 изделия; б) не более двух изделий.

Х
p	0,2	0,3	0,3	0,1	0,1

7. n=5; p=0,6; k=4.

10. =12; =18; m=16; =2.

Вариант 5

1. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

2. В урне а белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

3. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достает 4 детали. Найдите вероятность того, что все взятые детали окрашенные.

4. На фабрике машины a, b, c производят соответственно 25%, 35% и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется дефектным.

5. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что 3 из 500 случайно отобранных деталей окажутся бракованными.

Х
p	0,3	0,5	0,1	0,1

7. n=4; p=0,5; k=2.

10. =3; =9; m=5; =2.

Вариант 6

1. Из партии, содержащей 6 одинаковых изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия для контроля. Найти вероятность того, что произойдет событие А = "в полученной выборке все изделия бракованные".

2. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

3. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,14. Какова вероятность выиграть, купив 5 билетов:

а) по всем пяти билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по одному билету.

4. Всхожесть семян свеклы первой партии 90%, второй партии - 85%. Перед посевом смешали 2 центнера семян первой партии и 3 центнера семян второй партии. Какова вероятность всхода, если наугад посадить одно семя?

5. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что день рождения у двух человек придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день у каждого члена общества равна 1/365.

Х	-10
p	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

7. n=5; p=0,7; k=2.

10. =3; =6; m=4; =2.

Вариант 7

1. В группе из 30 студентов на контрольной работе получили: 6 студентов - оценку "отлично", 10 студентов - "хорошо", 9 - "удовлетворительно". Какова вероятность того, что все три студента, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?

2. Какова вероятность того, что в выбранном наудачу двузначном числе цифры одинаковы?

3. Детали проходят 3 операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02; на второй - 0,03; на третьей - 0,02. Найдите вероятность получения детали без брака после трех операций, предполагая, что получение брака на отдельных операциях относится к независимым событиям.

4. На одном заводе на каждые 100 лампочек приходится в среднем 10 нестандартных, на втором - 15, на третьем - 20. Продукция этих заводов составляет соответственно 50%, 30% и 20% всех лампочек, приобретаемых жителями района. Найти вероятность того, что приобретенная лампочка будет стандартной.

5. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.

Х
p	0,1	0,4	0,3	0,2

7. n=4; p=0,4; k=3.

10. =4; =9; m=6; =4.

Вариант 8

1. В ящике лежат 15 яблок, различающихся только цветом, причем из них 6 зеленых, 5 красных и 4 желтых. Из ящика берут наудачу 3 яблока. Вычислить вероятность того, что все 3 яблока: а) зеленые; б) красные; в) желтые; г) одного цвета.

2. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 100. Какова вероятность того, что выбранное число при делении на 8 дает в остатке 2?

3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 выбирается одна, а из оставшихся - вторая. Найдите вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз; б) второй раз; в) оба раза.

4. На ферме содержится 40% коров костромской породы и 60% - башкирской. В районе эпидемия ящура. Вероятность заболеть ящуром у коров костромской породы - 0,6; у коров башкирской породы - 0,7. Для обследования взята корова. Определить вероятность того, что она больна ящуром.

5. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность события: в течение часа позвонят 4 абонента.

Х
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

7. n=4; p=0,9; k=2.

10. =6; =12; m=8; =4.

Вариант 9

1. 25 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. Какова вероятность того, что вытянутый билет состоит из подготовленных вопросов?

2. Наудачу выбрано двухзначное число. Какова вероятность того, что выбранное число имеет простые делители больше 10?

3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4-х независимых выстрелах равна 0,9984. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.

4. Известно, что в четырех областях мозга, содержащих примерно одинаковое количество клеток, клетки внимания, то есть нейроны, реагирующие на изменение сигнала, имеют следующие удельные веса: для первой области - 5%, для второй - 15%, для третьей - 18%, для четвертой - 0,1%. Какова вероятность, заведомо находясь в пределах этих областей, попасть в клетку внимания?

5. Вероятность попадания в самолет при каждом выстреле из пулемета равна 0,002. Производится 1000 выстрелов. Найти вероятность попадания в самолет более двух раз.

Х
p	0,1	0,1	0,6	0,1	0,1

7. n=4; p=0,4; k=3.

10. =4; =10; m=7; =3.

Вариант 10

1. В ящике имеются 12 деталей, из которых 5 - нестандартные. Сборщик наудачу извлекает из ящика 4 детали. Какова вероятность того, что все они будут нестандартными?

2. Какова вероятность того, что наудачу выбранное двухзначное число простое и сумма его цифр равна 5?

3. Студент успел подготовить к экзаменам 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из 3-х наудачу выбранных вопросов студент знает не менее 2-х?

4. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй - 0,2%, а третий - 0,4%. Найти вероятность того, что на сборку попала бракованная деталь, если с первого автомата поступило 1000, со второго - 2000 и с третьего - 2500 деталей.

5. Доля зараженности зерна вредителями в скрытой форме составляет 0,01. Определить вероятность того, что в выборке из 100 зерен окажутся ровно 3 зараженных зерна.

Х
p	0,1	0,3	0,4	0,1	0,1

7. n=3; p=0,9; k=2.

10. =2; =8; m=6 =3.

Вариант 11

1. Партия из 10 изделий содержит 2 нестандартных изделия. Партия принимается, если случайным образом взятые 3 изделия окажутся стандартными. Какова вероятность того, что партия будет принята.

2. Даны отрезки длиной 2, 5, 6, 10. Какова вероятность того, что из наудачу взятых трех отрезков можно построить треугольник?

3. Среди изготовляемых рабочим деталей в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 деталей не найдется ни одной бракованной?

4. В цехе 3 типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки первого типа производят 98% деталей отличного качества, второго - 90% и третьего - 86%. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если станков первого типа 5, второго - 3, третьего - 2.

5. Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

Х
p	0,2	0,3	0,4	0,1

7. n=4; p=0,7; k=3.

10. =2; =6; m=5; =2.

Вариант 12.

1. В лотерее имеются 10 билетов: 5 выигрышных и 5 проигрышных. Берут 2 билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

2. Игральная кость бросается дважды и записывается двузначное число , где первая цифра а - число очков, выпавшее при первом бросании, а вторая цифра b - число очков, выпавшее при втором бросании. Найдите вероятность того, что: а) а + b= 5; б) a - b= 1.

3. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных деталей. Сборщик последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найдите вероятность того, что среди взятых деталей: а) нет дефектных; б) хотя бы одна дефектная.

4. Три автомата изготавливают одинаковые изделия. Их производительности относятся как 5:3:2, а стандартные детали среди их продукции составляют в среднем 99%, 98% и 97%. Найти вероятность того, что наудачу взятая из не рассортированной продукции деталь окажется нестандартной.

5. При выборке некоторой массовой продукции вероятность появления одной нестандартной вещи составляет 0,0001. Какова вероятность того, что в партии из 2000 изделий этой продукции 1 или 2 изделия будут нестандартными?

Х
p	0,2	0,1	0,3	0,3	0,1

7. n=6; p=0,5; k=3.

10. =2; =8; m=6; =5.

Вариант 13

1. В бригаде 7 мужчин и 5 женщин. На дежурство выделяется 5 человек. Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна женщина?

2. Игральная кость бросается трижды. Пусть х - сумма очков, полученных при всех бросаниях. Что более вероятно: х=12 или х=11?

3. Брошены 2 игральные кости, помеченные номерами 1 и 2. Какова вероятность того, что на первой кости очков будет больше, чем на второй?

4. Три оператора радиолокационной станции производят соответственно 25%, 35% и 40% всех измерений, допуская 5%, 4% и 3% ошибок. Найти вероятность того, что случайно проверенное измерение оказалось ошибочным.

5. Отбирается 5000 изделий. Доля брака составляет 0,0002. Найти вероятность того, что в выборке ровно 2 бракованных изделия.

Х
p	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2

7. n=5; p=0,5; k=4.

10. =6; =12; m=10; =2.

Вариант 14

1. В коробке 20 семян фасоли двух сортов, причем 12 из них первого сорта, а остальные - второго. Из коробки наудачу взяли 4 семени фасоли. Вычислить вероятность того, что взятые семена будут:

а) первого сорта; б) второго сорта; в) одного сорта.

2. В урне 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар окажется белым?

3. Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он:

а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз.

4. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8, 7 - с вероятностью 0,7, 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок промахнется.

5. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

Х
p	0,2	0,2	0,3	0,2	0,1

7. n=4; p=0,7; k=3.

10. =3; =7; m=5; =1.

Вариант 15

1. Первого сентября на первом курсе запланированы по расписанию три лекции по разным предметам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в этом эксперименте?

2. Все натуральные числа от 1 до 20 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны наудачу взята одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5 - событие А; кратным 3 - событие B.

3. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0,9; на третий - 0,8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) хотя бы на два вопроса.

4. В засуху растение погибает с вероятностью 0,9. Без засухи выживаемость растения составляет 95%. Вероятность засухи в году составляет 0,2. Найти вероятность выживания растения в данном году.

5. Среди семян ржи имеется 0,4% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 500 семян обнаружится не менее 5 сорняков?

Х	-5	-1
p	0,2	0,4	0,2	0,1	0,1

7. n=4; p=0,4; k=2.

10. =2; =6; m=4; =2.

Вариант 16

1. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

2. Игральная кость брошена три раза. Какова вероятность того, что при этом все выпавшие грани различны?

3. Имеются 30 ящиков с помидорами. Известно, что в пяти, десяти, шести и девяти ящиках содержится соответственно 3, 6, 4 и 5 испорченных помидор. Наудачу выбрали ящик. Определить вероятность того, что выбран ящик не более чем с пятью помидорами.

4. В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и 1 - второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее - одного человека для поездки в город. Какова вероятность того, что выбран юноша.

5. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Х
p	0,2	0,4	0,2	0,1

7. n=4; p=0,8; k=2.

10. =1; =5; m=2; =2.

Вариант 17

1. В мастерскую для ремонта поступили 15 телевизоров. Известно, что 6 штук из них нуждаются в регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 штук. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в регулировке?

2. На 6 одинаковых карточках написаны буквы "а", "в", "к", "М", "о", "с". Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово "Москва".

3. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.6, для второго - 0.7, для третьего - 0.8. Определить вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

4. В первой урне содержатся 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.

5. В некотором водоеме карпы составляют 80 %. Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 4 карпа; б) не менее четырех карпов.

Х
p	0,1	0,5	0,3	0,1

7. n=3; p=0,7; k=2.

10. =4; =8; m=5; =3.

Вариант 18

1. В подгруппе 7 студентов, среди которых 4 отличника. По списку отобрали 5 студентов. Какова вероятность, что среди них 2 отличника?

2. В урне 4 белых и 2 черных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?

3. Вероятность проработать гарантийный срок без ремонта для первой партии доильных аппаратов - 0,2, для второй партии - 0,85. В отделение совхоза выделено 2 доильных аппарата первой партии и 1 аппарат второй партии. Какова вероятность того, что из трех аппаратов не менее двух проработают гарантийный срок без ремонта?

4. 60% учащихся в школе - девочки. 80% девочек и 75% мальчиков имеют билеты в театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что билет принадлежал девочке? Мальчику?

5. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 0,2. Какова вероятность, имея 6 билетов, выиграть по двум?

Х
p	0,2	0,3	0,1	0,4

7. n=5; p=0,4; k=3.

10. =6 =10; m=8; =2.

Вариант 19

1. В партии из 100 бурильных труб 5% бракованных. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу 10 труб окажутся 2 бракованные?

2. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 - черные?

3. Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком - 0,9, а вторым - 0,8. Найти вероятность того, что:

а) мишень поразит только один из стрелков; б) хотя бы один из стрелков.

4. Бросается монета, и если она падает так, что сверху окажется герб, вынимаем 1 шар из урны I, а в противном случае - из урны II. Урна I содержит 3 красных и 1 белый шар. Урна II содержит 1 красный и 3 белых шара. Какова вероятность того, что вынутый шар красный?

5. Вероятность того, что расход воды в течение дня окажется не превышающим норму, равна 0,8. Найти вероятность того, что расход воды будет нормальным в течение 5 из ближайших дней.

Х
p	0,1	0,5	0,2	0,2

7. n=4; p=0,3; k=2.

10. =1; =5; m=4; =1.

Вариант 20

1. На складе 4 мешка картофеля первого сорта и 6 мешков - второго. Наудачу выбрали 5 мешков. Какова вероятность того, что среди них 2 мешка картофеля первого сорта?

2. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны наудачу извлекли 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары одного цвета.

3. Всхожесть фасоли 80%, гороха - 90%, бобов - 70%. Определить вероятность того, что из трех различных посеянных семян:

а) взойдут два; б) не менее двух взойдут; в) не взойдет ни одно.

4. В студенческом стройотряде 2 бригады третьекурсников и 1 - второкурсников. В каждой бригаде третьекурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников - 4 юноши и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. Выбранный человек оказался девушкой. Какова вероятность того, что она - третьекурсница.

5. Известно, что в данном населенном пункте 80% семей имеют телевизоры. Для некоторых исследований случайным образом отбирают 5 семей. Определить вероятность того, что в выборке окажутся:

а) ровно 3 семьи с телевизорами; б) не менее четырех семей с телевизорами.

Х
p	0,2	0,4	0,3	0,1

7. n=5; p=0,2; k=4.

10. =5; =9; m=6; =3.

Вариант 21

1. В мастерскую для ремонта поступило 10 часов. Известно, что 6 штук из них нуждаются в общей чистке механизма. Мастер берет первые попавшиеся 5 часов. Определить вероятность того, что двое из этих часов нуждаются в общей чистке механизма.

2. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 женщины и 2 мужчин?

3. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что 2 нити, вынутые наудачу, будут:

а) одного цвета; б) разных цветов.

4. Бросается монета, и если она падает так, что сверху окажется герб, вынимаем 1 шар из урны A, а в противном случае - из урны B. Урна A содержит 5 красных и 2 белых шара. Урна B содержит 2 красный и 3 белых шара. Какова вероятность того, что шар вынимался из урны А, если он оказался красным?

5. Вероятность того, что комбайн проработает в течение недели без поломок равна 0,3. Какова вероятность того, что в звене из четырех комбайнов за неделю ремонт потребуется одному комбайну?

Х
p	0,2	0,3	0,1	0,4

7. n=5; p=0,3; k=4.

10. =8; =12; m=10; =1.

Вариант 22

1. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность того, что выбраны:

а) 2 мальчика; б) 2 девочки; в) девочка и мальчик.

2. В урне 10 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми равна . Сколько в урне белых шаров?

3. Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающих сигнализатора. Вероятности исправной работы первого сигнализатора - 0,9, для второго - 0,95, для третьего - 0,8. Найти вероятность того, что:

а) сработает только один сигнализатор; б) сработает вся сигнализация.

4. На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции, а машина В - 60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, оказывается браком, а у машины В - брак 2 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом, оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине В?

5. Всхожесть семян равна 90%. Для опыта отбираются 6 семян. Определить вероятность того, что будет не менее пяти всходов.

Х
p	0,1	0,2	0,5	0,2

7. n=5; p=0,3; k=2.

10. =2; =6; m=4; =2.

Вариант 23

1. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность в следующих случаях:

а) все 3 детали без дефектов; б) по крайней мере одна деталь без дефектов.

2. Владелец одной карточки лотереи "Спортлото" (6 из 49) вычеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано:

а) все 6 номеров в очередном тираже; б) 5 или 6 номеров.

3. Предполагая, что для шахматиста А равновероятны три исхода каждой партии (выигрыш, ничья, проигрыш), найти вероятность того, что А из четырех партий: а) не проиграет ни одной; б) проиграет хотя бы одну партию.

4. В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего - 0,7, для посредственного - 0,5. Найдите вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель.

5. В стаде 40% коров холмогорской породы, остальные - костромской. Какова вероятность того, что среди пяти коров, отобранных наугад, две будут холмогорской породы?

Х
p	0,2	0,1	0,5	0,2

7. n=4; p=0,7; k=3.

10. =4; =8; m=5; =2.

Вариант 24

1. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

2. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают трех спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

3. Пусть всхожесть семян первого, второго и третьего сортов некоторой культуры составляет соответственно 90%, 80%, 70%. Вычислить вероятность того, что из трех посеянных разносортных семян этой культуры:

а) взойдут все три; б) взойдет только одно; в) взойдет хотя бы одно.

4. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго - 30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым - 1%, третьим - 0,5% и четвертым - 0,2%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь небракованная.

5. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти волокон длинных окажется:

а) три; б) не более двух.

Х
p	0,2	0,4	0,3	0,1

7. n=3; p=0,1; k=2.

10. =2; =6; m=3; =2.

Вариант 25

1. Среди 20 студентов группы, в которой 7 девушек, разыгрывается лотерея из пяти билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 3 девушки?

2. 10 книг на одной полке расставляют наудачу. Определить вероятность того, что при этом 3 определенные книги окажутся поставленными рядом.

3. При изготовлении детали заготовка должна пройти 4 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событием независимым, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02, на второй - 0,01, на третьей - 0,02, на четвертой - 0,03.

4. Из пяти стрелков два попадают в цель с вероятностью 0,6 и три - с вероятностью 0,4. Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет?

5. Среди находящихся на складе доильных аппаратов 20% неисправных. Найти вероятность того, что среди отобранных наудачу шести аппаратов неисправных окажется три.

Х
p	0,1	0,2	0,4	0,3

7. n=3; p=0,6; k=2.

10. =1; =8; m=4; =3.

Вариант 26

1. Среди 12 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 6 билетов. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

2. Из 10 билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов:

а) один выигрышный; б) два выигрышных; в) хотя бы один выигрышный.

3. В ящике лежат 30 яблок, из них 25 зеленых и 5 красных. Вычислить вероятность извлечения двух красных яблок при условии, что:

а) яблоки вынимаются поочередно с возвращением в ящик;

б) яблоки вынимаются поочередно без возвращения в ящик.

4. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную - с вероятностью 0,05. Определите вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

5. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди шести новорожденных:

а) 4 мальчика; б) не более 2 девочек.

Х
p	0,2	0,2	0,5	0,1

7. n=5; p=0,2; k=3.

10. =3; =7; m=4; =3.

Вариант 27

1. Преподаватель дал задание 7 студентам из 10, пришедших на отработку, причем студентов первой группы было 7, а второй группы - 3. Какова вероятность того, что задание получили 4 студента первой группы?

2. Имеется 5 отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность того, что с помощью наудачу взятых трех отрезков из данных пяти можно построить треугольник.

3. Брошены 3 игральных кости. Найти вероятность следующих событий:

а) на каждой из выпавших граней появится 5 очков;

б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.

4. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25%всех женщин страдают дальтонизмом. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина? (считать, что мужчин иженщин одинаковое количество).

5. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Производится 5 выстрелов. Найти вероятность того, что цель будет поражена 2 раза.

Х
p	0,2	0,3	0,4	0,1

7. n=5; p=0,7; k=4.

10. =4; =10; m=6; =3.

Вариант 28

1. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее, чем на 3 из четырех поставленных в билете вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

2. На 10 одинаковых карточках написаны различные числа от 0 до 9. Определить вероятность того, что наудачу образованное с помощью данных карточек двузначное число делится на 18.

3. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность беспрерывной работы в течение месяца для первого станка 0,8, для второго - 0,9, для третьего -0,8. Найти вероятность того, что в течение месяца:

а) все станки будут работать без остановки;

б) только два станка будут работать бесперебойно.

4. Из пяти стрелков 3 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,4. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым трем или к двум последним?

5. Вероятность рождения бычка при отеле коровы равна 0,5. Найти вероятность того, что от 5 коров будет: а) ровно 3 бычка; б) не менее 1 бычка.

Х
p	0,1	0,4	0,2	0,3

7. n=3; p=0,9; k=2.

10. =3; =7; m=4; =2

Вариант 29

1. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

2. Из колоды карт (52 карты) наугад извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка, туз.

3. Датчик температуры газа состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других в течение времени может отказать. Отказ одного узла приводит к отказу датчика в целом. Вероятность безотказной работы первого узла - 0,95, второго - 0,8, третьего - 0,98. Найти вероятность безотказной работы датчика.

4. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 - с вероятностью 0,7; 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок.

5. Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что откажут:

а) 2 узла; б) не менее двух узлов.

Х
p	0,2	0,4	0,3	0,1

7. n=6 p=0,1; k=4.

10. =5; =9; m=6; =3.

Вариант 30

1. Достаточным условием сдачи зачета является ответ на два из трех вопросов. Студент не знает ответы на 8 вопросов из 40 предложенных. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

2. Из полного набора костей домино (28 костей) наудачу берутся 5 костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой.

3. Вероятность установления в данной местности устойчивого снежного покрова с октября равна 0,1. Определить вероятность того, что в ближайшие 3 года в этой местности снежный покров с октября:

а) установится хотя бы один раз; б) установится не менее двух раз.

4. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала машина. Какова вероятность того, что это грузовая машина?

5. Доля плодов, зараженных болезнью в скрытой форме, составляет 20%. Случайным образом отбирают 6 плодов. Определить вероятность того, что в выборке окажутся:

а) ровно 3 зараженных плода; б) не менее одного зараженного плода.