Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. |
— n-ная частичная сумма.
[править] Сходимость
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.
[править] Необходимое условие равномерной сходимости
[править] Критерий Коши равномерной сходимости
Критерий Коши для последовательности . Чтобы последовательность функций , определенных на множестве V, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого ε > 0 существовал номер N = N (ε), такой, что при всех n, m больше либо равных N одновременно для всех выполнялось неравенство
[править] Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Если ряд сходится, а расходится, то ряд называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.
|
|
[править] Признаки равномерной сходимости
[править] Признак сравнения
Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:
1. Ряд сходится равномерно.
2.
Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда . Таким образом функциональный ряд ограничиваеся обычным. От него требуется обычная сходимость
[править] Признак Дирихле
Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
1. Последовательность действительнозначных функций монотонна и
2. Частичные суммы ряда равномерно ограничены.
[править] Признак Абеля
Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
1. Последовательность действительнозначных функций равномерно ограничена и монотонна .
2. Ряд равномерно сходится.
2 [править]Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
[править] Теоремы о непрерывности
Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве
Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.
Последовательность
функция непрерывна в точке
Тогда непрерывна в .
Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.
Ряд
функция непрерывна в точке
Тогда непрерывна в .
[править] Теоремы об интегрировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.
функция непрерывна на отрезке
на
Тогда
Теорема о почленном интегрировании.
функция непрерывна на отрезке
|
|
на
Тогда
[править] Теоремы о дифференцировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о дифференцировании под пределом.
функция непрерывно дифференцируема на отрезке
сходится
на отрезке
Тогда — непрерывно дифференцируема на , на
Теорема о почленном дифференцировании.
функция непрерывно дифференцируема на отрезке
сходится
равномерно сходится на отрезке
Тогда — непрерывно дифференцируема на , на