1. Даны точки Р (– 2; 3; 4); Q (1; – 4; 5), R (3; –6; 7).
Для них: а) найти координаты векторов ;
б) найти координаты вектора ;
в) вычислить длину вектора ;
г) найти модули и направляющие косинусы векторов и .
2. Даны точки А (– 2; 1; 3); В (5; – 3; 6), С (1; 0; –2), D(4; – 7; – 1).
Для них: а) найти координаты векторов ;
б) найти координаты вектора и его длину ;
в) найти координаты вектора и его модуль ;
г) найти направляющие косинусы векторов и .
3. Проверить, образуют ли векторы и базис.
(Указание: проверить, являются ли они линейно-независимыми, и сравнить количество векторов с количеством координат).
4. Проверить на линейную зависимость векторы и .
5. Вектор разложить по базису ,
6. Дана тройка векторов . Убедиться, что они образуют базис, и найти разложение вектора по этому базису.
7. Найти разложение вектора по базису векторов , и .
8. Даны векторы . Найти координаты вектора .
9. Даны точки A (1, – 2,3), B (3, 2, 1) и C (6, 4, 4) и D(4; 0; 6). Для них:
а) найти координаты векторов ;
б) проверить на коллинеарность векторы ;
|
|
в) проверить на коллинеарность векторы .
10. При каком t векторы = + t – и = 3 + 6 – 3 коллинеарны?
11. Даны вектора ; и . Для них:
а) вычислить ;
б) вычислить ;
в) найти косинус угла φ между векторами и .
12. Даны точки N (2; 1; 0); P (– 1; – 3; 4), R (– 5; 3; 1), T (1; – 2; 2).
Для них: а) найти координаты векторов ; и ;
б) вычислить косинус угла φ между векторами и ;
в) вектора и проверить на перпендикулярность.
13. При каком вектора являются взаимно перпендикулярными?
14. Векторы составляют угол . Известно, что . Вычислить значения скалярных произведений и .
15. Найти проекцию вектора на направление вектора .
16. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
17. Вектор коллинеарен вектору . Дан вектор и известно, что . Найти координаты вектора .
18. Даны векторы и . Найти вектор , перпендикулярный оси , и удовлетворяющий условиям и .
19. Даны вектора , .
Для них вычислить: а) и ;
б) ;
в) ;
г) .
20. Даны векторы и . Вычислить модуль векторного произведения .
21. Дан треугольник с вершинами А (1; – 1; 2), В (5; – 6; 2) и С (1; 3;–1). Найти: 1) площадь треугольника АВС; 2) длину высоты, опущенной из т. С на сторону АВ.
22. Даны вершины параллелограмма A(1, –2, 3), B(3, 2, 1), C(6, 4, 4) и D(4; 0; 6). Найти длину высоты, опущенной из т. В на сторону СD.
23. Найти синус угла между векторами .
24. Вычислить смешанное произведение векторов , и .
25. Даны точки А(2; – 1; 1); В(5; 5; 4), С(3; 2; –1), D(4; 1; 3). Проверить, лежат ли эти точки в одной плоскости.
26. Установить, компланарны ли вектора и .
27. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .
28. Даны вершины тетраэдра P (1; 1; –1), Q (2; 3; 1), R (3; 2; 1), S (5, 9, –9). Найти длину его высоты, опущенной из вершины Q.
|
|
29. Вектор перпендикулярен векторам и . Угол между и равен . Зная, что , найти .
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ:
1. а) , ; б) ; в) ; г) для
; для .
2. а) , ; б) и ;
в) и ; г) ;
д) .
3. Нет, векторы не образуют базис, т.к. линейно зависимы.
4. Векторы линейно независимы.
5. .
6. .
7. .
8. .
9. а) , , ; б) ; в) .
10. t = 2.
11. а) ; б) ; в) .
12. а) , , ; б) ; в) не перпендикулярны.
13. = – 6.
14. и ;
15. .
16. .
17. .
18. .
19. а) и ; б) = ; в) = ;
г) и .
20. .
21. а) ; б) .
22. .
23. .
24. .
25. Точки не лежат в одной плоскости.
26. Вектора не компланарны.
27. .
28. .
29. .