Список теоретических вопросов к экзамену

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ, ГЕОМЕТРИИ и МЕТОДИКИ ИХ ПРЕПОДАВАНИЯ

РАБОЧИЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН ПО КУРСУ

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ»

3 курс, специальность "Математика с дополнительной специальностью информатика", дневное отделение, 2011/2012 учебный год, 32 часa лекций, 24 часа практических занятий, контрольная работа, коллоквиум, экзамен.

ЛИТЕРАТУРА

1. Л.С. Атанасян, В.Т.Базылев. Геометрия. Часть 2. - М.: КноРус, 2011.
2. Л.С. Атанасян, и др. Сборник задач по геометрии ч. 2. М. Просвещение, 1975.
3. Л.С.Атанасян, Г.Б.Гуревич. Геометрия 2. - М.: Просвещение, 1976.
4. В.Т.Базылев, К.И.Дуничев. Геометрия 2. - М.: Просвещение, 1975.
5. Д. Гильберт. Основания геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948.
6. Н. В. Ефимов. Высшая геометрия. - М.: Наука,1978.
7. И. П. Егоров. Основания геометрии. - М.: Просвещение 1984.
8. Я. Л. Трайнин. Основания геометрии. - М.: Учпедгиз, 1961.
9. Сборник задач по геометрии. Под редакцией В.Т.Базылева.- М.: Просвещение 1980.
10. Л.С.Атанасян. Геометрия Лобачевского. - М.: Просвещение 2001.
11. С.Л.Атанасян, Н.В.Шевелева, В.Г.Покровский. Сборник задач по геометрии. Часть II. - М.: Эксмо, 2008.

ПЛАН ЛЕКЦИЙ

Лекция 1. Исторический обзор развития оснований геометрии. История пятого постулата. Модель системы аксиом. Изоморфизм моделей.

Литература[1], § 67 - 69, 77, 78.

Лекция 2. Первая и вторая теоремы Лежандра. Пятый постулат Евклида и его связь с суммой углов треугольника.

Литература[1], § 69.

Лекция 3. Первая вторая группы аксиом Гильберта и основные следствия из них.

Литература[1], § 71, 79.

Лекция 4. Третья группа аксиом Гильберта и основные следствия из нее. Четвертая и пятая группы аксиом Гильберта и основные следствия.

Литература [1], § 72.

Лекция 5. Понятие о математической структуре. Интерпретация системы аксиом. Модель системы аксиом. Изоморфизм моделей.

Литература[1], § 77, 78.

Лекция 6. Аксиоматика Вейля трехмерного евклидова пространства. Исследование аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства. Построение элементарной геометрии на основе аксиоматики Вейля. Прямые и плоскости.

Литература[1], § 81.

Лекция 7. Построение элементарной геометрии на основе аксиоматики Вейля. Свойства лучей, отрезков и углов. Построение элементарной геометрии на основе аксиоматики Вейля. Конгруэнтность.

Литература [1], § 82.

Лекция 8. История открытия геометрии Лобачевского. Аксиома параллельности Лобачевского. Простейшие следствия.

Литература [1], § 69, 70, 73.

Лекция 9. Параллельные прямые по Лобачевскому, их свойства.

Литература [1], § 73.

Лекция 10. Существование параллельных прямых по Лобачевскому.

Литература [1], § 73.

Лекция 11. Свойства треугольников на плоскости Лобачевского. Свойства четырехугольников на плоскости Лобачевского.

Литература [1], § 74.

Лекция 12. Вырожденные треугольники на плоскости Лобачевского. Угол параллельности и его свойства. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Литература [1], § 74, 75.

Лекция 13. Окружность, эквидистанта и орицикл

Литература [1], § 76.

Лекция 14. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом.

Литература [1], § 80.

Лекция 15. Длина отрезка. Теоремы существования и единственности. Площадь многоугольника. Теорема существования.

Литература [1], § 86, 87, 88.

Лекция 16. Теорема единственности для площади многоугольника. Равновеликие и равносоставленные многоугольники. Теорема Бойяи - Гервина. Обзор системы аксиом школьного курса геометрии.

Список теоретических вопросов к экзамену.

1. Геометрия до Евклида. “НАЧАЛА” Евклида.

2. “НАЧАЛА” Евклида. Критика “НАЧАЛ”. Проблема пятого постулата.

3. Эквиваленты пятого постулата: аксиома параллельных прямых.

4. Эквиваленты пятого постулата: теорема о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам.

5. Первая и вторая теоремы Лежандра. Связь пятого постулата Евклида с утверждением о сумме углов треугольника.

6. Выводы Н.И.Лобачевского о невозможности доказательства пятого постулата как теоремы. Аксиома параллельности Лобачевского.

7. Система аксиом Гильберта. Аксиомы принадлежности и основные следствия из них.

8. Система аксиом Гильберта. Аксиомы порядка и основные следствия из них.

9. Система аксиом Гильберта. Аксиомы конгруэнтности и основные следствия из них.

10. Система аксиом Гильберта. Аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора

11. Система аксиом Гильберта. Утверждение Дедекинда как эквивалент аксиом непрерывности при условии сохранения остальных аксиом абсолютной геометрии

12. Аксиома параллельности и основные следствия из нее.

13. Понятие о математической структуре. Интерпретация системы аксиом.

14. Непротиворечивость системы аксиом. Непротиворечивость аксиом принадлежности.

15. Непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Независимость пятого постулата Евклида от остальных аксиом.

16. Непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Модель Кели-Клейна плоскости Лобачевского.

17. Независимость системы аксиом. Независимость аксиомы параллельности.

18. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства.

19. Полнота системы аксиом. Полнота системы аксиом Вейля евклидовой геометрии.

20. Непротиворечивость системы аксиом Вейля и ее полнота.

21. Построение элементарной геометрии на основе аксиоматики Вейля. Прямые и плоскости.

22. Построение элементарной геометрии на основе аксиоматики Вейля. Свойства лучей и отрезков

23. Построение элементарной геометрии на основе аксиоматики Вейля. Конгруэнтность.

24. Проверка выполнения некоторых аксиом системы аксиом Гильберта в теории, построенной на аксиоматике Вейля.

25. Система аксиом А.В.Погорелова школьного курса геометрии.

26. Система аксиом школьного курса геометрии, предложенная Л.С.Атанасяном, В.Ф.Бутузовым, С.Б.Кадомцевым и др.

27. Элементы геометрии Лобачевского. Определение параллельности прямых по Лобачевскому.

28. Элементы геометрии Лобачевского. Признак параллельности прямых.

29. Теорема существования параллельных прямых по Лобачевскому.

30. Угол параллельности. Функция Лобачевского.

31.Треугольники на плоскости Лобачевского.

32. Четырехугольники на плоскости Лобачевского.

33. Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского.

34. Свойства расходящихся прямых на плоскости Лобачевского.

35. Взаимное расположение двух параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского.

36. Пучки прямых на плоскости Лобачевского. Окружность.

37. Пучки прямых на плоскости Лобачевского. Эквидистанта.

38. Пучки прямых на плоскости Лобачевского. Орицикл.

39. Теорема существования и единственности длины отрезка.

40. Теорема существования и единственности площади многоугольника.

41. Равновеликие и равносоставленные многоугольники. Теорема Бойяи - Гервина.

42. Теорема существования и единственности объема многогранника (обзор).

Коллоквиум проводятся по вопросам 1 - 22

Примерный план практических занятий.

Занятие 1-2. Эквиваленты пятого постулата.

В аудитории [9] № 1471, 1473, 1475, задачи школьных учебников.

Самостоятельно [9] № 1472, 1474, задачи школьных учебников.

Занятия 3-4. Исследование систем аксиом. Аксиомы Гильберта и следствия из них.

В аудитории [11] № 811, 813, 815, 817, 823, задачи школьных учебников.

Самостоятельно [11] № 812, 814, 816, 818, 822, задачи школьных учебников.

Занятие 5. Общие вопросы аксиоматики.

В аудитории [11] № 760, 762, 764, 768.

Самостоятельно [11] № 761, 763, 765, 767.

Занятие 6-7. Общие вопросы аксиоматики. Системы аксиом школьного курса геометрии.

В аудитории [9] № 1462, 1464, 1466, задачи школьных учебников,

Самостоятельно [9] № 1463, 1465, 1467, задачи школьных учебников.

Занятие 8. Контрольная работа

Занятие 9. Задачи на доказательство в плоскости Лобачевского.

В аудитории [11] № 824, 826, 828, 768. [8] № 902, 904, 906, 908, 910, 911, 913, 916, 917

Самостоятельно [11] № 825, 827, 829, 731. [8] № 903, 905, 907, 911, 914, 918.

Занятия 11. Пучки прямых на плоскости Лобачевского. Окружность, эквидистанта, орицикл.

В аудитории [11] № 841(б), 842, 843(б), 846.

Самостоятельно [11] № 841(а), 844, 843(а), 845.

Занятия 12. Модели плоскости Лобачевского.

В аудитории [11] № 849, 850(б), 854, 860.

Самостоятельно [11] № 850(а,в), 852, 853, 859.