Имеются 2 Поставщика (A1,A2) и 3 Потребителя (B1,B2,B3) однородной продукции. Запасы Поставщиков, потребности Потребителей и стоимости перевозок единицы продукции представлены в таб.1. Найти оптимальный план перевозок.
B1 | B2 | B3 | ||
А1 | ||||
А2 | ||||
Шаг 1. Чтобы начать решение транспортной задачи, необходимо определить, является эта задача с правильным балансом или нет. Для этого необходимо проверить выполнение условия (Е). В случае выполнения условия (Е) находим первую перевозку методом северо-западного угла, иначе сводим задачу к задаче с правильным балансом, вводя фиктивного Поставщика или фиктивного Потребителя.
Шаг2. Метод северо-западного угла.
11 | |||||
7 | |||||
10 | |||||
7 | |||||
1. Используя запасы первого Поставщика, удовлетворяем запросы первого Потребителя. Запас первого Поставщика уменьшается на 10 единиц и становится равным 1 единице. Запросы первого Потребителя удовлетворены, первый столбец исключается из дальнейшего рассмотрения.
|
|
2. Переходим ко второму Потребителю, используя запасы первого Поставщика, уменьшаем потребность второго Потребителя на 1единицу, она становится равной 7 единицам. Запас первого Поставщика исчерпан - первая строка исключается из рассмотрения.
3. Используя запасы второго Поставщика, удовлетворяем запросы Потребителя. Запас второго Поставщика становится равным 7 единицам, потребность второго Потребителя удовлетворена. Второй столбец исключается из рассмотрения.
4.Поскольку в таблице осталась одна строка (вторая) и один столбец (третий) – это последний шаг. Удовлетворяем запросы третьего Потребителя, исчерпывая запасы второго Поставщика.
Количество заполненных клеток равно 4, m+n-1=2+3-1=4. Следовательно, найденное решение является невырожденным. Стоимость перевозок f1=8∙10+6∙1+5∙7+7∙7=170.
Шаг 3. (Метод потенциалов)
1. Используя формулу (1) и полагая u1=0, для заполненных клеток находят потенциалы (числа) поставщиков - ui (i= 2,3,…m) и потребителей - vj (j=1,2,…n).
u1+v1=c11. 0+ v1=8→ v1=8.
u1+v2=c12. 0+ v2=6→ v2=6.
u2+v2=c22. u2+ 6=5→ u2=-1.
u2+v3=c23. -1+ v3=7→ v3=-8.
vj ui | |||
-1 | |||
2. Для проверки оптимальности полученного решения, вычисляем для незаполненных клеток оценки ∆ij по формуле (2).
∆13=u1+v3-c13. ∆13=0+8-5=3>0.
∆21=u2+v1-c21. ∆21=-1+8-4=3>0.
Найденное решение не оптимально, т.к. оценки ∆13 и ∆21- положительны. Для перехода к следующему базисному решению необходимо из положительных оценок выбрать – максимальную и переместить перевозку в эту клетку.. В нашем примере оценки равны, выберем первую.
|
|
3. Для правильного перемещения перевозок, чтобы не нарушить ограничений, строится цикл, т.е. замкнутый путь, соединяющий выбранную незаполненную клетку с ней же самой и проходящей через заполненные клетки. Цикл строится следующим образом: вычеркиваем все строки и столбцы, содержащие ровно одну заполненную клетку (выбранная клетка при этом считается заполненной). Все остальные заполненные клетки составляют цикл и лежат в его углах. В каждой клетке цикла, начиная с незаполненной, проставляют поочередно «+ » и «- ». Значение выбирается минимальным из клеток со знаком «- ».
vj ui | |||
1- | + | ||
-1 | |||
7+ | 7- |
=min(1,7)=1.
Получаем новую таблицу перевозок
Стоимость перевозок f2=f1- .∆13=170-1. 3=167.
Повторяем Шаг 3, пока не получим оптимальное решение.
Находим потенциалы
vj ui | |||
Вычисляем оценки ∆12 и ∆21
∆12 =u1+v2-c12=0+3-6= -3<0
∆21=u2+v1-c21=2+8-4= 6>0.
Строим цикл
vj ui | |||
10- | 1+ | ||
+ | 6- |
=min(10,6)=6.
Получаем новую таблицу перевозок
Стоимость перевозок f3=f2- .∆21=167- 6. 6=131.
Находим потенциалы.
vj ui | |||
-4 | |||
Вычисляем оценки ∆12 и ∆21
∆12 =u1+v2-c12=0+9-6= 3>0
∆23=u2+v3-c23= -4+5-7= -6<0.
Строим цикл
vj ui | |||
4- | + | ||
-4 | |||
6+ | 8- |
=min(8,4)=4.
Получаем новую таблицу перевозок
Стоимость перевозок f4=f3- .∆12=131- 4. 3=119.
Находим потенциалы
vj ui | |||
-1 | |||
Вычисляем оценки ∆11 и ∆21
∆11 =u1+v1-c11=0+5-8= -3<0
∆23=u2+v3-c23= -1+5-7= -3<0.
Найденная перевозка (119) – оптимальна.