y y = f(x)
DSi Dyi
Dxi
a b x
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .
Тогда длина дуги равна .
Из геометрических соображений:
По теореме Лагранжа имеем , где
Следовательно
Таким образом, длина вписанной ломаной равна
По условию - непрерывна, следовательно, функция тоже непрерывна. Поэтому существует предел интегральной суммы, который равен определённому интегралу:
Итак, получили формулу для вычисления длины дуги:
= (9)
Если уравнение кривой задано параметрически х = j(t) и у = y(t),
, где j(t) и j(t)- непрерывные функции с непрерывными производными, причём на заданном участке не обращается в ноль. В этом случае уравнения х = j(t) и у = y(t) определяют некоторую функцию , непрерывную и имеющую непрерывную производную , пусть , тогда, сделав в интеграле (9) подстановку , получим или
,
Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то
Если кривая задана в полярных координатах, то
, r = f(j).
Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
|
|
1 способ. Выразим из уравнения переменную у.
Найдем производную
Тогда
Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r, тогда