Число всех перестановок без повторений равно: Pn = n!
Число всех размещений без повторений равно:
А = n(n – 1)(n – 2)×××(n – m + 1).
Число всех сочетаний без повторений равно: .
Классическое определение вероятности: Р(А) = .
Свойства вероятности:
10. Р(W) = 1, где W - полная группа событий.
20. Вероятность невозможного события равна 0, а достоверного события равна 1. Следовательно, 0 £ Р(А) £ 1.
30. Р() = 1 – Р(А), где и А – противоположные события.
Теорема сложения для двух несовместных событий: Р(А+В) = Р(А)+Р(В), для n попарно несовместных событий:
Р(А1+А2+…+Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Теорема умножения для двух зависимых событий Р(АВ) = Р(А)×Р(А/В), для n зависимых: Р(А1А2×××Аn)=Р(А1)Р(А2/A1)P(A3/A1A2)×××Р(Аn/A1A2×××An-1).
Теорема умножения для двух независимых событий: Р(АВ) = Р(А)×Р(В), для n независимых: Р(А1А2×××Аn)=Р(А1)Р(А2)×××Р(Аn).
Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых событий А1, А2, …, Аn равна: Р(А) = 1 - q1 q2 ×××qn, где рi = Р(Аi), q i = 1 – p i.
Формула полной вероятности: Р(А) = Р(Н1)Р(А/H1) + P(H2)P(A/H2) + … + +P(Hn)P(A/Hn), где Нi – попарно-несовместные, образующие полную группу события (гипотезы).
|
|
Формула Байеса: Р(А/H i) = , где Р(А) вычисляют по формуле полной вероятности.
Формула Бернулли: Рn (k)=С , где q = 1 – p.
Наивероятнейшее число появлений k0 события А в n испытаниях:
np – q k0 np + p.
Локальная теорема Лапласа: Pn(k) , где q = 1-p, х = , значения функции j(х) см. в таблице приложения 1.
Интегральная теорема Лапласа: Рn(k1≤ k ≤ k2) ≈ Ф(х2) – Ф(х1), где х1 = , х2 = , значения функции Ф(х) см. в таблице приложения 2.
Законом распределения дискретной случайной величины:
Х | x1 | x2 | … | хn |
P(X) | p1 | p2 | … | pn |
причем р1 + р2 + … + рn = 1.
Математическое ожидание дискретной случайной величины:
М(Х)=х1р1 + х2р2 + … +хnpn.
Дисперсия дискретной случайной величины: D(X) = M(X – M(X))2 или более простая формула D(X) = M(X)2 – [M(X)]2.
Средне квадратическое отклонение: s(Х) = .
Функцией распределения непрерывной случайной величины (НСВ): F(x) = P (X < x), причем и .
Плотность распределения непрерывной случайной величины: f(x)=F/(x), следовательно, .
Свойства плотности распределения:
1. f (x) ≥ 0 для всех х.
2. .
Математическое ожидание НСВ: .
Дисперсия НСВ: D(X)= или D(X)=
Среднее квадратическое отклонение НСВ: s(Х) = .
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), равна:
Р(a<x<b) = Ф - Ф , а вероятность того, абсолютная величина отклонения меньше положительного числа d равна: Р(|x – m| < d) = 2Ф .
Выборочная средняя: , где n=n1 + n2 +…+nk – объем выборки.
Выборочная дисперсия: , n – объем выборки.
Выборочное среднее квадратическое отклонение: sВ = .
|
|
Теорема: DB= , где .
Доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а (математического ожидания нормального распределения) при известном s, где - точность оценки, n – объем выборки; t определяют из равенства Ф(t)= (по таблице приложения 2 находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное g/2).
Если же s неизвестно, то доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с надежностью g, примет вид: , где tg можно определить по таблице приложения 3 по заданным n и g, s = - «исправленное» среднее квадратическое отклонение.
Метод произведений. Составляют расчетную таблицу вида:
хi | ni | ui | niui | niu |
1. В 1ом столбце записывают выборочные (первоначальные) варианты в возрастающем порядке.
2. Во 2ом - записывают частоты этих вариант.
3. В 3ем – записывают условные варианты (практически, в клетках над ui=0 по порядку пишут числа -1, -2, -3, …, а в клетках под ним – числа 1, 2, 3, …
4. В 4ом – вычисляют произведения niui.
5. В 5ом – вычисляют произведения niu .
6. Далее суммируют вычисления по столбцам, записывая результаты снизу.
7. Вычисляют условные моменты , и выборочные среднюю , дисперсию и среднее квадратическое отклонение sВ = .
Для проверки нулевой гипотезы Н0={генеральная совокупность распределена нормально} при уровне значимости a с помощью критерия согласия Пирсона удобно пользоваться следующим алгоритмом:
1. Вычисляют теоретические частоты n = , где n – объем выборки; h – шаг выборки; sВ - выборочное среднее квадратическое отклонение; zi= ( - выборочная средняя); j(z)= - плотность нормированного нормального распределения (значения см. приложение 1).
2. Вычисляют ( - значение критерия, вычисленное по данным наблюдений).
3. По таблице критических точек распределения (см. приложение 4) по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k = s – 3 (s – число групп выборки) находим (a; k).
4. Если < , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу Н0; если > , то нулевую гипотезу Н0 отвергают.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по
сгруппированным данным имеет вид: .
Здесь: , , h1 – шаг варианты Х; , , h2 – шаг варианты Y, n – объем выборки; sх = suh1, su = , ; sy = svh2, sv = , ; rB = .
Метод нахождения
Для этого составляют корреляционную таблицу в условных вариантах, после чего составляют специальную таблицу:
1. В каждой клетке, в которой nuv ¹ 0, в правом верхнем углу записывают произведение nuv на u.
2. Складывают все числа, помещенные в этих правых верхних углах и их суммы записывают в столбец U.
3. Умножают варианту v на U по строкам и записывают результаты в последнем столбце vU.
4. Суммируют элементы последнего столбца. Полученная сумма и равна .
5. Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам (в левых нижних углах клеток, в которых nuv ¹ 0).