Домашнее задание ОТИ
Цель работы: записать результаты измерения по 50 точкам и представить его графически
Дано:
Вариант 12.Домашнее задание студенту __________________ по ОТИ.
1.Записать результат измерения длины стержня, мм:
20.25 | 20.4 | 20.3 | 20.55 | 20.25 |
20.35 | 20.5 | 20.35 | 20.3 | 20.35 |
20.45 | 20.25 | 20.4 | 20.45 | 20.45 |
20.5 | 20.35 | 20.3 | 20.55 | 20.55 |
20.3 | 20.3 | 20.4 | 20.35 | 20.35 |
20.4 | 20.4 | 20.4 | 20.25 | 20.35 |
20.45 | 20.35 | 20.35 | 20.4 | 20.4 |
20.5 | 20.45 | 20.4 | 20.3 | 20.3 |
20.5 | 20.4 | 20.5 | 20.45 | 20.45 |
20.5 | 20.5 | 20.3 | 20.35 | 20.25 |
Обработка результата ведётся в три этапа:
1. Обнаружение и исключение ошибок.
2. Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения.
3. Вычисление доверительного интервала математического ожидания ε и построение карты процесса.
1. Обнаружение и исключение ошибок.
В системах при измерениях могут происходить сбои, отказы аппаратуры, скачки напряжения, ошибки в записях данных. Появляются ошибки, вероятность которых не так мала. Необходимо пользоваться правилом, с помощью которого можно отбросить сомнительные результаты.
|
|
Это правило 3σ: Если при многократном измерении одной и той же физической величины постоянного размера сомнительные значения результата измерения отличаются от среднего больше чем на 3σ, то с вероятностью больше 0,997 они являются ошибочными и их следует отбросить. σ – дисперсия.
-3σ +3σ
х х
При расчётах принимать σ=s, так как среднее квадратичное отклонение является оценкой дисперсии. Ошибочными будут те значения, которые не входят в интервал:
[ -3s; +3s].
Для проведения анализа результатов измерений занесём вспомогательные расчёты в таблицу 2.
Таблица 2 – Вспомогательные расчёты
xi | mi | mi· xi | xi- | (xi- )2 | (xi- )2·mi |
20,25 | 101,25 | -0,139 | 0,019321 | 0,096605 | |
20,3 | 162,4 | -0,089 | 0,007921 | 0,063368 | |
20,35 | 203,5 | -0,039 | 0,001521 | 0,01521 | |
20,4 | 0,011 | 0,000016 | 0,00016 | ||
20,45 | 143,15 | 0,061 | 0,003721 | 0,026047 | |
20,5 | 143,5 | 0,111 | 0,012321 | 0,086247 | |
20,55 | 61,65 | 0,161 | 0,025921 | 0,077763 | |
Ʃ | 1019,45 | 0,077 | 0,070742 | 0,3654 |
mi – количество раз, которое xi повторяется в массиве
- среднее арифметическое результатов измерений.
= мм, (1)
где k – кол-во интервалов.
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
= мм. (2)
Найдём границы интервала [ -3s; +3s].
Все полученные значения входят в доверительный интервал [20,131; 20,647], следовательно, ошибочных значений нет.
Если какие-либо значения оказываются ошибочными, их отбрасывают, и проверка на ошибки проводится снова.
Если все значения попали в данный интервал, делаем вывод, что грубых ошибок нет и можно приступить к проверке на нормальность закона распределения.
2. Проверка нормальности закона распределения результата измерений
|
|
При обработке экспериментальных данных возникает вопрос, подчиняются результаты измерения нормальному закону. Не противоречивость такой гипотезы должна быть обязательно проверена, т.к. большинство классических методов математической статистики, используемых в задачах обработки измерений, могут быть применимы, только если распределение нормальное.
Для проверки гипотезы о нормальности построим по результатам экспериментальных данных гистограмму (рисунок 1). Для этого разбиваем наш массив на интервалы. При числе измерений 40-100 число интервалов 6-9.
Рисунок 1 – Гистограмма результатов измерений
Математическая статистика даёт несколько показателей, по которым можно судить, насколько фактическое значение согласуется с нормальным распределением. Известны критерии Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.
В данном случае согласованность статистического и выбранного теоретического распределения проверим с помощью критерия Пирсона .
. (3)
При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическими применяется сумма квадратов отклонений частности (вероятность появления i числа в этом интервале) от теоретической вероятности попадания отдельного результата измерения в i интервал. Причём каждое слагаемое берётся с коэффициентом .
Если , то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результатов измерения принимается.
Расчёт значений частот теоретического ряда распределения для собранных данных представлен в таблице 3.
Таблица 3 – Расчёт значений частот теоретического ряда распределения для собранных данных
i | Интервалы | mi | Ф(ti) | ||||
- | - | - | - | -0,5 | - | - | |
(-∞ | 20,275] | -1,3201358 | -0,4066 | 0,0934 | 0,02331906 | ||
(20,275 | 20,325] | -0,7411289 | -0,2703 | 0,1363 | 0,20604916 | ||
(20,325 | 20,375] | -0,1621219 | -0,0636 | 0,2067 | 0,01085873 | ||
(20,375 | 20,425] | 0,416885 | 0,1591 | 0,2227 | 0,11569151 | ||
(20,425 | 20,475] | 0,99589195 | 0,3389 | 0,1798 | 0,44050056 | ||
(20,475 | 20,525] | 1,57489889 | 0,4418 | 0,1029 | 0,66880952 | ||
(20,525 | +∞) | 2,15390583 | 0,4846 | 0,0428 | 0,34560748 | ||
Σ | 2,918195 | 1,81083602 |
- показывает, на сколько стандартных отклонений s отстоит от среднего арифметического значения правая граница каждого интервала; и s берём из предыдущего пункта.
Ф(ti) – функции Лапласа. Значения берутся из статистической таблицы в зависимости от (приложение А). Причём, если отрицательная, то и функция Лапласа берётся с минусом.
- теоретическая вероятность попадания в i интервал отдельного значения.
Суммирование чисел в последнем столбце даёт критерий Пирсона для нашего массива данных.
Сравнивая его с табличным подтвердим или опровергнем гипотезу о нормальном распределении результатов измерения. В соответствии с таблицей критических значений критерия Пирсона (приложение Б) найдём табличное значение для уровня значимости α =0,05 и степени свободы r=k-3, где k - число интервалов.
В данном примере =9,49
Фактическое значение меньше табличного. Гипотезу о нормальном распределении принимаем. После это можно применить формулы для расчёта доверительного интервала.
3. Вычисление доверительного интервала математического ожидания ε и построение карты процесса.
Результат измерений записывается в следующем виде:
; (4)
где =- предельное отклонение,
t – коэффициент Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности (в нашем случае Р=0,95) и числа степеней свободы f=n-1 в нашем случае равен 2,0086 (приложение В).
Таким образом, результат измерений:
.
Контрольную карту процесса мы получаем подставив значения измерений (рисунок 2).
Рисунок 2 – Контрольная карта процесса измерений