Лабораторное занятие № 5
Тема: Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве.
Действия над ними. (2 часа)
Учебно-познавательные цели занятия: углубление знаний о векторах, знакомство с методикой выполнения основных операций над векторами.
Воспитательная цель: формирование пространственных представлений студентов
Развивающаяцель – развитие творческих способностей студентов.
На лабораторном занятии формируются понятия:
- понятия вектора;
- линейных операций над векторами;
- скалярного произведения векторов;
- векторного произведении векторов;
- смешенного произведении векторов;
- векторного пространства;
- базиса векторного пространства.
На занятии формируются знания:
- свойств линейных операций над векторами;
- свойств скалярного произведения векторов;
- свойств векторного произведения векторов:
- свойств смешанного произведения векторов.
умения:
- выполнять линейные операции над векторами;
- находить скалярное произведение векторов;
- определять углы между векторами;
|
|
- находить векторное произведение векторов, площадь треугольника.
- находить смешанное произведение векторов, объем пирамиды.
- раскладывать вектор по базису,
навыки:
- аргументированного письменного изложения собственной точки зрения;
- критического восприятия информации
компетенции:
- ОК-1 – владение культурой мышления, способностью к восприятию, обобщению и анализу информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;
- ОК-2 – умением логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь;
- ОК-11 – способностью представить современную картину мира на основе естественнонаучных, математических знаний, ориентироваться в ценностях бытия, жизни, культуры;
- ПК-1 - способностью использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования;
- ПК-25 - способностью к обобщению и статистической обработке
Материально-техническое оборудование:
мультимедийный проектор, ноутбук, презентация «Векторы и действия над ними»
ПЛАН ЗАНЯТИЯ
1. Инструктаж по ТБ.
2.Проверка знаний студентов — их теоретической готовности к выполнению заданий.
3. Общее описание задания.
4. Выполнение заданий.
5. Оформление отчета о лабораторной работе.
6. Анализ
Глоссарий
Выучите определения следующих терминов:
вектор, длина вектора, нулевой вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, свойства векторов, скалярное произведение векторов, нахождение угла между векторами, векторное произведение векторов, алгебраические и геометрические свойства скалярного и векторного произведений векторов, смешенное произведение векторов, свойства смешенного произведения векторов, n-мерный вектор пространства, базис векторного пространства, теорема о разложении вектора по базису.
|
|
ХОД ЗАНЯТИЯ
1. Инструктаж по ТБ в компьютерном классе.
2. На лабораторном занятии используется фронтальная и индивидуальная работа.
Студентам необходимо:
- ознакомиться с основными теоретическими сведениями по каждой
из рассматриваемых тем;
- ответить на контрольные вопросы по по каждой
из рассматриваемых тем;
- изучить решение общих исходных практических заданий;
- выполнить представленные задания для малых групп;
- оформить отчет о лабораторной работе;
- защитить лабораторную работу
Основные теоретические сведения по теме:
"Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве.
Действия над ними"
Определение 1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В.
Определение 2. Модулем (длиной) вектора называется длина отрезка AB.
Определение 3. Векторы на плоскости, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы в пространстве, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Введем операции над векторами.
Определение 4. Произведением вектора на число называется вектор , такой что:
1) , 2) коллинеарен , 3) сонаправлен с вектором , если ; и противоположно направлен вектору , если .
В частности, -1× = - - есть вектор, противоположный вектору .
Теорема 1. Два вектора на плоскости и коллинеарны тогда и только тогда, когда , где .
Пример 2. Дан вектор . Найти векторы и - .
-
Все векторы коллинеарны, вектор имеет длину в 2 раза больше, чем вектор и сонаправлен с ним, а вектор - имеет длину в 3 раза больше, чем и противоположно направлен ему.
В параллелограмме, построенном на векторах,одна из диагоналей есть сумма векторов, а другая – их разность |
Замечание 1. Для пары векторов и в пространстве может быть определена еще одна операция умножения – векторное произведение x = . Поскольку она имеет ясный физический смысл, то эта операция изучается в курсах математики для инженерных специальностей. Однако она характеризует также такие интересные с точки зрения экономической теории явления, как наличие источников или завихренностей для совокупностей векторных переменных Упражнения на векторное произведение имеются в пособии [Борзых, спецглавы].
Определение 6. Скалярным произведением векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними, т.е.
(1)
Косинус угла между векторами можно найти по формуле:
(2)
Так как угол между коллинеарными векторами равен 0° (для сонаправленных векторов) или 180° (для противоположно направленных векторов), а угол между ортогональными (перпендикулярными) векторами равен 90°, то справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда . Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда .
|
|
Замечание 2. Если векторы коллинеарны, то по знаку их скалярного произведения можно определить сонаправлены они (если ) или нет (если ). Для неколлинеарных векторов можно определить какой угол образуют векторы, острый или тупой. Угол - острый, если (т.к. в первой четверти). Угол - тупой, если (т.к. во второй четверти).
Пусть А (x 1; y 1) и B (x 2; y 2) – две точки на плоскости, заданные своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат хОу.
B |
A |
y 1 |
y 2 |
y |
x 1 |
x 2 |
x |
O |
Зная координаты векторов, можно найти их модули и выполнить операции над векторами.
Пусть на плоскости даны векторы . Тогда нетрудно доказать что:
; (4)
; (5)
; (6)
; (7)
. (8)
Пример 2. На плоскости даны векторы: . Найти модули векторов и попарные скалярные произведения. Выяснить, какие из векторов коллинеарны, сонаправлены, противоположно направлены. Для неколлинеарных векторов выяснить, какие углы острые или тупые образуют векторы.
Решение. Найдем модули векторов по формуле (7): , , , . Скалярные произведения найдем по формуле (6): , , , , , . Так как и , то векторы и коллинеарны (см. Теорему 5.2.), причем противоположно направлены (см. Замечание 5.2.). Векторы и также коллинеарны, так как и , причем они сонаправлены. Векторы и образуют острый угол, т.к. . Аналогично, векторы , образуют острый угол. Векторы и образуют тупой угол так как .y
Пусть А (x 1; y 1; z 1) и B (x 1; y 2; z 2) – две точки в пространстве, заданные своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат Оxуz. Тогда координаты вектора можно найти по формуле:
(3¢)
Для векторов в пространстве справедливы утверждения аналогичные (4) - (8):
; (4¢)
; (5¢)
; (6¢)
; (7¢)
. (8¢)
Замечание 3. Аналогичные формулы существуют и для векторов большей размерности, в частности модуль вектора равен . Подробнее см. раздел 6.
Пример 3. Даны точки А (1; 1; 1), В (2; 2; 2), С (3; 0; 0), D (0; -4; 0). Найти угол между векторами и .
|
|
Решение. Найдем координаты векторов и по формуле (3¢):
; .
Найдем координаты векторов и по формуле (4¢), и вычислим косинус угла между векторами по формуле (8¢):
; .
Пусть - искомый угол, тогда
.
.
Ответ: .
Зная координаты векторов, можно установить их коллинеарность или компланарность с помощью следующей теоремы.
Теорема 3. Два вектора на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда , или, что то же самое, когда , т.е. координаты векторов пропорциональны.
Три вектора в пространстве компланарны тогда и только тогда, когда .
Замечание 5. Условием коллинеарности векторов в пространстве является пропорциональность их соответствующих координат.
Пример 4. Выяснить, какие из векторов коллинеарны:
а) ,
б) .
Решение. а) Вычислим определители, составленные из координат векторов:
На основании Теоремы 5.3 делаем вывод, что пары векторов и коллинеарны.
б) Найдем отношения соответствующих координат векторов :
. Так как координаты векторов пропорциональны (коэффициент пропорциональности равен –1/2), то векторы коллинеарны (см. Замечание 5.4.). Аналогично можно установить, что векторы коллинеарны и векторы коллинеарны. Проверим коллинеарны ли векторы . Найдем отношения соответствующих координат векторов : , следовательно, эти векторы не коллинеарны.
Ответ: а) , ; б) , , .
Пример 5. Компланарны ли векторы: ?
Решение. Вычислим определитель, составленный из координат векторов.
. Следовательно, векторы компланарны.
Ответ: да.
Векторное произведение векторов (9), заданных координатами, имеет вид
, (9)
где ; .
Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторов и, где есть векторное произведение и .
Смешанным произведением векторов (10) равно (по абсолютной величине) объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:
(10),
где .
n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x =(x 1, x 2, x 3,…. x n), где xi —i-тая компонента вектора x.
Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее следующим свойствам:
1. x + y = y + x. 4. α (x + y)= α x + α y.
2. (x + y)+ z = x +(y + x). 5. (α + β)x = α x+ βx.
3. α (βx) = (αβ) x.
6.Существует нулевой вектор 0 =(0 0…0) такой, что x + 0 = x для любого вектора х.
7. Для любого вектора х существует противоположныйвектор (—-х) такой, что х + (—- х)= 0.
8. 1· х= х для любого вектора х.
Линейное пространство Rn называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n +1)векторов уже являются зависимыми.
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространство Rn называется базисом.
Каждый вектор х линейного пространства R можно представить единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса:
x=x 1 e 1 +x 2 e 2 +…+x n e n, (11)
где x 1 ,x 2 …x n — координаты вектора х относительно базиса e 1, e 2 …e n.
Пример: Образуют ли векторы a = (2,1,1); b = (-1,1,0), c = (2;-2;3) базис пространства R3? Если да, то разложить по этому базису вектор d = (1, -4,5).
Решение:
Три вектора образуют базис в пространстве R3, если они линейно независимы.
Для проверки линейной независимости системы из векторов а, b, c составим определитель, столбцы которого представляют собой координаты этих векторов.
= = =9 .
Т.к. , то а, b, c— линейно независимы и образуют базис. Коэффициенты разложения вектора d в этом базисе определяем путём приравнивания d линейной + комбинации векторов базиса:
d= α 1a+ α2 b +α3 c.
Подставим значения координат
(1, -4,5)= α1·(2,1,1) + α2·(-1,1,0) +α3·(2,-2,3);
(1, -4,5)= (2α1, 1α1, 1α1) + (-1α2, 1α2, 0) + (2α3, -2α3, 3α3)
(1, -4,5)= (2α1— α2+2α3, α1+ α2—2α3, α1+3α3).
Векторы равны, когда равны их соответствующие координаты. Для определения коэффициентов разложения получаем систему уравнения:
Выписываем расширенную матрицу и преобразуем по методу Гаусса:
….. . Отсюда, α1=-1; α2=1; α3=2.
Следовательно, d= - a+ b +2 c.
Площадь треугольника
, ,
.
Объем тетраэдра с вершинами в точках , , ,
.
Контрольные вопросы
(параллельно с вопросами осуществляется показ соответствующего фрагмента презентации «Векторы и действия над ними»)
1. Что такое вектор на плоскости и в трехмерном пространстве? (ОК-1, ОК-2)
2. Что называется длиной (модулем) вектора? (ОК-1, ОК-2)
3. Как определяется произведение вектора на число? (ОК-1, ОК-2)
4. По каким правилам производится сложение и вычитание векторов на плоскости? (ОК-1, ОК-2)
5. Что называется скалярным произведением двух векторов? (ОК-1, ОК-2)
6. Как найти длину вектора, произведение вектора на число, сумму и разность векторов, их скалярное произведение и косинус угла между векторами на плоскости и в трехмерном пространстве, используя лишь координаты векторов? (ОК-1, ОК-2)
7.Что называется n -мерным вектором и n -мерным векторным пространством (пространством Rn)? (ОК-1, ОК-2)
8. Что называется базисом линейного пространства? (ОК-1, ОК-2)
9.Сформулируйте теорему о разложении элемента линейного пространства по элементам базиса? (ОК-1, ОК-2)
10. Дайте определение векторного произведения. (ОК-1, ОК-2)
11. Перечислите свойства векторного произведения. (ОК-1, ОК-2)
12. Что называется смешанным произведение векторов? (ОК-1, ОК-2)
13. Перечислите свойства смешанного произведения векторов. (ОК-1, ОК-2)
14. В чем заключается геометрический смысл векторного; смешанного произведения векторов? (ОК-1, ОК-2)
Практические задания общие (ОК-1, ОК-2):
№1. Зная координаты векторов
Найдите координаты вектора:
№2. Вычислите длину вектора:
№3. Даны векторы , , . Найдите скалярное произведение суммы двух первых векторов на третий.
№4. Даны векторы и . Найдите координату , если известно, что .
№5. Вычислить площадь параллелограмма и треугольника, построенных на векторах , где , угол между векторами и равен .
№6. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
№7. Являются ли векторы а =(1,3,-1), b=(0,2,-2), с =(1,-2,1) линейно зависимыми?
№8. Дан параллелограмм АВСD и вне него точка М. Разложите по векторам вектор где О- точка пересечения прямых АС и ВD,
Математический диктант «Векторная алгебра»
(ОК-1, ОК-2,ОК-11,ПК-1, ПК-25):
Вариант 1
1. Обосновать, может ли вектор составлять с координатными осями , и углы , , Если да, привести пример такого вектора.
2. Известно, что Найти
3. При каком условии на ненулевые векторы и справедливо равенство
4. Даны четыре точки:
Определить:
а) единичный вектор направления
б) косинус угла между векторами и
в) лежат ли точки в одной плоскости;
г) тип четырёхугольника
д) площадь четырёхугольника
5. Даны четыре вектора:
Определить:
а) ориентацию тройки векторов
б) объём тетраэдра, построенного на векторах как на сторонах.
в) разложить вектор по базису .
Вариант 2
1. Обосновать, может ли вектор составлять с координатными осями , и углы Если да, привести пример такого вектора.
2. Известно, что Найти
3. При каком условии на ненулевые векторы и справедливо неравенство ?
/4. Даны четыре точки: , , ,
Определить:
а) единичный вектор направления
б) косинус угла между векторами и
в) лежат ли точки в одной плоскости;
г) тип четырёхугольника
д) площадь четырёхугольника
5. Даны четыре вектора:
Определить:
а) ориентацию тройки векторов
б) объём тетраэдра, построенного на векторах как на сторонах.
в) Разложить вектор по базису
Вариант 3
1. Обосновать, может ли вектор составлять с координатными осями , и углы Если да, привести пример такого вектора.
2. Известно, что угол между векторами и равен Найти
3. При каком условии на ненулевые векторы и справедливо неравенство
4. Даны четыре точки:
Определить:
а) единичный вектор направления
б) косинус угла между векторами и
в) лежат ли точки в одной плоскости;
г) тип четырёхугольника ;
д) площадь четырёхугольника .
5. Даны четыре вектора:
Определить:
а) ориентацию тройки векторов
б) объём тетраэдра, построенного на векторах как на сторонах.
в) Разложить вектор по базису