1. Визначники та їх властивості. Література: [10], розд. І, §1, стор. 7-10.
2. Мінор. Алгебраїчне доповнення елемента визначника. Література: [10], розд. І, §2, стор. 11-12.
3. Матриці, дії над матрицями. Застосування матриць в економіці. Література: [10], розд. І, §4, стор. 19-22, §10, стор. 39-50, прикл. 1.15-1.18.
Визначення. Матриця – це прямокутна таблиця, яка складається з m рядків та n стовпців
, (1.1)
де (m, n) – визначають розмір матриці А.
Підсумовувати можна матриці А та В, якщо вони однакових розмірів, тобто
A ( m , n ) + B ( m , n ) = C ( m , n ), (1.2)
причому cij = aij + bij, , .
Добуток l A матриці A на число l дорівнює матриці В, елементи якої дорівнюють добуткам кожного елемента матриці А на число l, тобто
bij = l aij, , . (1.3)
Добуток матриць А та В існує тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В, тобто
, (1.4)
причому розмірність матриці С дорівнює числу рядків матриці А та числу стовпців матриці В.
Приклад №1 Виконати розрахунок заробітної платні, яка нараховується на кожне замовлення при виготовленні різних деталей, якщо відомі такі дані:
|
|
а) затрати робочого часу на кожну деталь для кожного робочого місця, тобто, щоб виготовити деталь А, потрібно на І-му робочому місці витратити 2 години, на ІІ-му – 1 годину і т.д. Аналогічно дані витрати для виготовлення деталей В та С (табл. 1.1).
Таблиця 1.1
Деталі | Витрати часу на робочому місці | ||||
І | ІІ | ІІІ | IV | V | |
А | |||||
В | |||||
С |
б) кількість деталей в кожному замовленні (шт.):
Таблиця 1.2
Замовлення | Кількість деталей | ||
А | В | С | |
K | |||
L | |||
M |
в) погодинна заробітна платня (грн) на кожному робочому місці:
Таблиця 1.3
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ | ІV | V |
Погодинна заробітна платня | 1,25 | 1,5 | 1,4 | 1,4 | 1,25 |
Розв’язання. Запишемо в матричній формі вихідні дані:
а) витрати робочого часу на кожну деталь ;
б) кількість необхідних деталей в кожному замовленні: ;
в) погодинна заробітна платня P = (1,25 1,5 1,4 1,4 1,25).
Оскільки відомі витрати робочого часу на кожну деталь і вартість однієї робочої години для кожного робочого місця, то знайдемо заробітну платню, що складається для виготовлення кожної деталі. Для цього попередньо транспонуємо матрицю Р для того, щоб матриці можна було перемножити:
Оскільки матриця визначає кількість деталей в кожному замовленні, то добуток визначає величину заробітної платні, яка нараховується при виконанні кожного замовлення:
.
Відповідь. Заробітна платня, що нараховується при виконанні замовлення K, складає 99,6 грн., замовлення L – 81,9 грн., замовлення M – 102,55 грн.
Завдання №1
|
|
Виконати розрахунок заробітної платні, що нараховується при виконанні кожного замовлення при виробництві різних виробів, якщо відомо: а) витрати робочого часу на кожному з робочих місць; б) кількість виробів у кожного замовлення (шт.); в) погодинна заробітна платня (грн.).
1. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | ||||||||
І | ІІ | ІІІ | IV | V | А | В | С | D | |||
А | 0,5 | 1,5 | K | ||||||||
В | 0,5 | L | |||||||||
С | 0,5 | M | |||||||||
D | 0,5 | 1,5 |
в)
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ | ІV | V |
Погодинна заробітна платня | 1,2 | 1,1 | 1,3 | 1,4 |
2. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | ||||||
І | ІІ | ІІІ | IV | А | В | С | |||
А | 0,5 | K | |||||||
В | 1,5 | L | |||||||
С | 0,5 | 0,5 | M | ||||||
N |
в)
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ | ІV |
Погодинна заробітна платня | 1,1 | 1,3 | 1,4 | 1,2 |
3. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | ||||||
І | ІІ | ІІІ | А | В | С | D | |||
А | K | ||||||||
В | 0,5 | 1,5 | L | ||||||
С | 0,5 | M | |||||||
D | 1,5 | 0,5 | N |
в)
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ |
Погодинна заробітна платня | 1,5 | 1,4 | 1,2 |
4. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | |||||||
І | ІІ | ІІІ | А | В | С | D | E | |||
А | 1,5 | K | ||||||||
В | 1,5 | L | ||||||||
С | 0,5 | 0,5 | M | |||||||
D | 1,5 | 1,5 | N | |||||||
E | 0,5 |
в)
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ |
Погодинна заробітна платня | 1,25 | 1,2 | 1,3 |
5. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | ||||||||
І | ІІ | ІІІ | IV | А | В | С | D | E | |||
А | 1,5 | 0,5 | K | ||||||||
В | 0,5 | 0,5 | L | ||||||||
С | 0,5 | 0,5 | M | ||||||||
D | |||||||||||
E | 0,5 | 1,5 | 1,5 |
в)
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ | ІV |
Погодинна заробітна платня | 1,2 | 1,1 | 1,25 | 1,1 |
6. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | |||||||
І | ІІ | ІІІ | IV | V | А | В | С | |||
А | 0,5 | 1,5 | K | |||||||
В | 1,5 | 0,5 | L | |||||||
С | 1,5 | 0,5 | 1,5 | M | ||||||
N |
в)
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ | ІV | V |
Погодинна заробітна платня | 1,25 | 1,1 | 1,2 | 1,4 | 1,1 |
7. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | |||||||
І | ІІ | ІІІ | IV | А | В | С | D | |||
А | 0,5 | K | ||||||||
В | 1,5 | 0,5 | 1,5 | L | ||||||
С | 0,5 | 1,5 | M | |||||||
D | 0,5 |
в)
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ | ІV |
Погодинна заробітна платня | 1,1 | 1,2 | 1,1 | 1,5 |
8. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | |||||||
І | ІІ | ІІІ | А | В | С | D | E | |||
А | 1,5 | K | ||||||||
В | L | |||||||||
С | 1,5 | 1,5 | M | |||||||
D | 1,5 | 1,5 | ||||||||
E | 0,5 | 0,5 |
в)
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ |
Погодинна заробітна платня | 1,25 | 1,2 | 1,1 |
9. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | |||||
І | ІІ | ІІІ | А | В | С | |||
А | 0,5 | 0,5 | 1,5 | K | ||||
В | L | |||||||
С | 1,5 | M | ||||||
N | ||||||||
P |
в)
|
|
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ |
Погодинна заробітна платня | 1,4 | 1,2 | 1,25 |
10. а) б)
Вироби | Витрати часу на робочому місці | Замовлення | Кількість виробів | |||||||||
І | ІІ | ІІІ | IV | V | А | В | С | D | E | |||
А | 0,5 | 1,5 | 1,5 | K | ||||||||
В | 0,5 | L | ||||||||||
С | 1,5 | |||||||||||
D | 0,5 | 1,5 | ||||||||||
E | 1,5 | 0,5 |
в)
Робоче місце | І | ІІ | ІІІ | ІV | V |
Погодинна заробітна платня | 1,2 | 1,4 | 1,25 | 1,3 | 1,4 |
§2 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Методи їх дослідження та розв’язання.
Математичне моделювання економічних задач.
5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Формули Крамера. Література: [10], розд. І, §3, стор. 12-18.
6. Матричний запис СЛАР та її розв’язання. Література: [10], розд. І, §5-9, стор. 26-39, прикл. 1.7-1.14.
Нехай дана сумісна система n лінійних рівнянь з n невідомими:
. (1.8)
Введемо позначення у вигляді матриць:
, , ,
тоді систему (1.8) можна записати у матричній формі:
AX = B. (1.9)
Основні методи розв’язання СЛАР:
1. Правило Крамера
– якщо у системі (1.8) D = detA ¹ 0, то система сумісна і має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами , , де D i – визначник, одержаний з визначника D заміною і -го стовпця на стовпець вільних членів;
– якщо в системі (1.8) D = 0, але хоча б один з визначників D i не дорівнює нулю, то система не має розв’язків, тобто несумісна;
– якщо у системі (1.8) D = 0 і усі допоміжні визначники D i дорівнюють нулю, тобто D i = 0, то система сумісна і має незчисленну множину розв’язків.
2. Матричний метод (метод зворотної матриці).
Помножуючи обидві частини рівняння (1.9) на матрицю А –1 і враховуючи, що А –1 × А = Е, ЕХ = Х, то одержуємо шуканий розв’язок:
Х = А –1 × В. (1.10)
Зауваження. Методом зворотної матриці можна розв’язувати тільки у тому випадку, якщо матриця А – невироджена, тобто якщо D ¹ 0.
|
|
3. Метод Жордана-Гаусса.
Записавши розширену матрицю з (1.8), за допомогою елементарних перетворень її необхідно привести до трикутного вигляду:
, (1.11)
де і – перетворені числа.
Одержана матриця є розширеною матрицею системи:
(1.12)
Розв’язання системи (1.12) має вигляд:
.
Таким чином, розв’язок знаходимо з (1.12) послідовно знизу нагору, тобто з останнього рівняння відомо , його підставляємо в передостаннє рівняння і знаходимо тощо. Одержаний розв’язок є також розв’язком вихідної системи (1.8).
Розглянемо економічну задачу на складання математичної моделі. Одержану систему лінійних алгебраїчних рівнянь розв’яжемо трьома методами.
Приклад №3 Добовий раціон годування тварин складається з трьох видів кормів. Один кілограм корму І-го типу коштує 5 грн і містить 1 од. жирів, 2 од. білків та 3 од. вуглеводів. Один кілограм ІІ-го типу коштує 3 грн і містить 2 од. жирів, 3 од. білків та 1 од. вуглеводів. Один кілограм корму ІІІ-го типу коштує 6 грн і містить 3 од. жирів, 4 од. білків та 3 од. вуглеводів. Скільки кг корму кожного типу необхідно купувати щоденно, щоб тварини одержували жирів – 17 од., білків – 26 од. і 19 од. вуглеводів. Знайти вартість щоденного годування тварин.
Розв’язання. Оскільки необхідно визначити кількість кг корму кожного типу, то введемо позначення: x 1 – кількість корму І-го типу в кг, x 2 – кількість корму ІІ-го типу в кг і x 3 – кількість корму ІІІ-го типу в кг. За умовою задачі жирів повинно бути 17 од., тоді, враховуючи кількість жирів в 1 кг корму кожного типу, можна записати: x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 17. Аналогічно одержуємо рівняння для білків та вуглеводів: 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 26 і 3 x 1 + x 2 + 3 x 3 = 19. А вартість корму буде складати 5 х 1 + 3 х 2 + 6 х 3 (грн.). Таким чином, одержуємо систему рівнянь:
. (1.13)
Розглянемо розв’язання системи трьома методами.
Метод Крамера
Обчислимо головний визначник
.
Оскільки , то система має єдиний розв’язок. Знайдемо допоміжні визначники, замінюючи відповідні стовпці вільними членами системи:
; ; .
Тоді , і . Таким чином, корму І-го типу необхідно 3 кг, ІІ-го типу – 4 кг і ІІІ-го типу – 2 кг. При цьому вартість годування буде 5×3 + 3×4 + 6×2 =39 (грн.).
Матричний метод.
Запишемо систему (1.13) у матричній формі AX = B, де
, , , тоді X = A –1 × B.
Для знаходження матриці A –1 знайдемо всі її алгебраїчні доповнення:
; | ; | ; |
; | ; | |
; | ; | . |
Тоді одержану матрицю транспонуємо: , а оскільки і D = –4, то .
Знайдемо добуток матриць , тобто
x 1 = 3, x 2 = 4 і x 3 = 2.