Математический маятник

Лабораторная работа № 7

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Методические указания

Волгоград,2014

Лабораторная работа № 7

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

1. Цель работы: изучение свободных колебаний маятника, с хо­рошей точностью удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного падения; оценка результатов измерений и расчет погрешностей.

2. Оборудование: лабораторная установка.

3. Материал для изучения:

Свободные колебания маятника.

Определение погрешностей при прямых и косвенных измерениях.

4. Теоретическое введение

Период малых колебаний физического маятника равен

(1)

где I₀ — момент инерции маятника относительно оси качаний 00. т — масса маятника, a — расстояние от оси качаний маятника до его центра масс С, g— ускорение свободного падения.

В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (1) в случае, когда маятник можно приближенно считать математическим, т. е. когда масса маятника сосредоточена в области, размеры которой малы по сравнению с а.

Исследуемый в лабораторной установке маятник схематически изображен на рис. 25. Он представляет собой стальной шарик радиусом r на бифилярном подвесе: тонкая нить пропущена через центр шарика, концы нити закреплены на стойке. Длина подвеса может регулироваться в пределах от нескольких сантиметров до 1 м. Период колебаний с высокой (до 10^-3 с) точностью измеряется с помощью электронного секундомера.

Рис.1

Момент инерции маятника складывается из момента инерции шарика и момента инерции нити подвеса. Пренебрегая моментом инерции нити, запишем момент инерции маятника относительно оси 00 в виде

(2)

Соотношение (2) следует из теоремы Гюйгенса—Штейнера, если учесть, что момент инерции однородного шара радиусом r и массой т относительно оси, проходящей через его центр, равен

Рассмотрим случай, когда радиус шарика мал по сравнению с длиной подвеса: r<<a. Тогда в (2) можно пренебречь слагаемым , малым по сравнению с ma², и положить

(3)

В этом приближении I₀ определяется, очевидно, с небольшой систематической погрешностью

(4)

которую в условиях опыта легко оценить. С учетом (3) период колебаний маятника можно записать в виде

(5)

Он, как и должно быть, совпадает с периодом колебаний математического маятника, длина подвеса которого а. Из (5) находим следующее выражение для ускорения свободного падения:

(6)

5. Измерения

Соотношение (6) позволяет опытным путем определить ускорение свободного падения. Для этого, очевидно, необходимо измерить период колебаний маятника Т и длину подвеса а, затем рассчитать g по формуле (6).

Однако, прежде чем перейти к определению g, необходимо выяснить, применимо ли вообще соотношение (6) для лабораторной установки.

Дело в том, то выражение (1) для периода колебаний справедливо для идеализированной модели физического маятника. Следовательно, и соотношение (6) также справедливо только в рамках этой модели. При выводе соотношения (1) были сделаны следующие предположения:

1) маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность колебаний);

2) затуханием колебаний можно пренебречь.

Непосредственным измерением легко проверить, что периоды колебаний маятника при малой (порядка 3—5°) и большой (30—45°) амплитудах заметно отличаются. Так как расчетная формула (6) применима только для малых амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, с точностью до 0,5%). Это легко сделать измеряя период колебаний маятника для различных значений амплитуды в пределах от 2—3° до 10—15°.

Обсудим теперь, как можно оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Отклонив маятник из положения равновесия, легко проверить, что колебания его постепенно затухают. Количественную оценку величины поправки ∆T к периоду можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.

В этом случае действующая на шарик сила трения пропорцио­нальна скорости его движения:

Период колебаний маятника несколько увеличивается, а частота колебаний уменьшается по сравнению с частотой маятника без трения. При этом частота колебаний

(7)

а их период

(8)

где

Коэффициент затухания выражается через число колебаний N, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е == 2,78 ≈ 3 раза:

(9)

Из соотношений (7), (8) и (9) находим

(10)

(11)

Таким образом,

(12)

Видно, что уже при N ≈ 10 поправка (12) к периоду колебаний меньше 0,1 % и ею можно пренебречь.

6. Ход работы

1. Определите диапазон изохронности колебаний. Для этого измерьте период колебаний маятника для 8—10 значений амплитуды θ в пределах от 0 до 30°. Результаты занесите в табл. 1. Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными с точностью до 0,1; 0,5; 1%.

Таблица 1

Θ
T(θ)

2. Определите по формуле (12) влияние затухания на период колебаний. Для этого найдите число N колебаний, за которое амплитуда колебаний маятника уменьшается примерно в три раза.

3. Вычислите наименьшую длину подвеса маятника a_min, при которой с точностью до 0,5% можно считать момент инерции маят­ника равным I₀=ma². Для этого в соотношении (4) примите ∆ I_сист./I₀= 0,005 и вычислите a_min.

4. Проверьте, подтверждается ли на опыте линейная зависимость

между квадратом периода колебаний Т² и длиной а подвеса [см. (6)].

Для этого измерьте период колебаний маятника для четырех-пяти длин подвеса в пределах от a_min ≈ 25 см до a_max = 1 м.

При измерениях амплитуда θ колебаний должна быть малой, т. е. находиться в найденном выше диапазоне изохронности. Результаты измерений занесите в табл. 2.

Таблица 2

a
T(a)
T2(a)

По результатам измерений постройте график зависимости Т² от а в осях координат Х = a, Y = Т².

5. Определите ускорение свободного падения g. Для этого измерьте период колебаний Т маятника при наибольшем значении длины подвеса а = a_max, чтобы уменьшить относительную погрешность . Вычислите g c помощью формулы (6) при найденных значениях Т и a.

Оцените погрешность и запишите полученный результат в виде

Контрольные вопросы

1. На основании измеренных в работе данных оцените добротность и логарифмический декремент затухания маятника.

2. Основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух. На шар радиусом R, движущийся со скоростью v, дей­ствует сила трения

где η — коэффициент вязкости. Вязкость воздуха при нормальных усло­виях η= 1,7∙10⁵ Па∙с. Оцените максимальную силу трения, действующую на шар в условиях опыта.

3. Маятник (рис. 2) отводят из положения равновесия на угол θ=90° и без толчка отпускают. Оцените силу натяжения нитей в тот момент, когда он проходит положение равновесия. Длина нитей /=40 см, диаметр шаpa d=2,2 см, a =8 см, плотность стали 7,8 г/см³.

Рис.2

4. Математический маятник длиной l=1 м подвешен к потолку кабины, которая начинает опускаться вертикально вниз с ускорением .Спустя время t₁=3 с после начала движения кабина начинает двигаться равномерно, а затем в течение 3с тормозится до остановки. Определите 1) периоды T₁, T₂,T₃ гармонических колебаний маятника на каждом из участков пути; 2)период T₄ гармонических колебаний маятника при движении точки подвеса в горизонтальном направлении с ускорением .