За каждое задание можно получить 7 баллов

Класс. Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

В Московском районе Санкт-Петербурга 12 октября 2017 года

Решения и критерии школьного этапа

За каждое задание можно получить 7 баллов.

Основные принципы оценивания приведены в таблице.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
	Полное верное решение.
5-6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
	Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2-3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
	Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
	Решение отсутствует.

Помимо этого, в методических рекомендациях по проведению Олимпиады следует проинформировать жюри школьного этапа о том, что:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведённого в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень её правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при её выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объёму текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады (это решает районное олимпиадное Жюри, разрабатывающее положение о победителях и призёрах школьного этапа олимпиады).

Ответы к задачам олимпиады:

1. Полный сосуд с сиропом весит 33 кг. Сосуд, заполненный наполовину, весит 17 кг. Какова масса пустого сосуда?

Решение:

1) 33-17=16 (кг) – вес сиропа в половине сосуда

2) 17-16=1 (кг) – вес пустого сосуда

Ответ: 1 кг - масса пустого сосуда.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
	Полное верное решение.
5-6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно.
	Верно выполнены действия без пояснений.
2-3	Выполнено одно из действий.
	Угадан ответ при отсутствии решения.
	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
	Решение отсутствует.

 

2. Катя и Юра купили лотерейные билеты с номерами: 625517 и 322324, и обнаружили, что в каждом из номеров можно расставить знаки арифметических действий и скобки так, что в каждом случае результат будет равняться 100. Как это можно сделать?

Решение: Например, 62+55-17=100 32*2+32+4=100

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
	Полное верное решение.
5-6	Решение содержит незначительные ошибки.
	Рассмотрен 1 из случаев.
	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
	Решение отсутствует.

 

3. Вдоль забора растут восемь кустов малины. Количество ягод на соседних кустах отличается на одну. Может ли на всех кустах вместе расти 225 ягод?

Решение: Общее количество ягод не может быть равным 225. Чётность количества ягод на первом, третьем, пятом и седьмом кустах одинакова. Тем же самым свойством обладает второй, четвертый, шестойи восьмой кусты. Отсюда следует, что общее количество ягод – чётное число.

Ответ: не может.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
	Полное верное решение.
5-6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
	Верно рассмотрен один из двух существенных случаев. Указана чётность или нечётность чисел.
2-3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
	Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
	Решение отсутствует.

 

4. На огороженном поле 1км х 1км были построены заборы, разделившие его на прямоугольные участки 5м х 20м и 6м х 12м. Какова общая длина построенных заборов?

Ответ: 248000м.

Решение: Периметр любого прямоугольного участка численно вдвое меньше его площади. Площадь всех участков равна 1000000м², поэтому сумма периметров равна 500000м. Но любой забор, кроме внешнего, имеющего длину 4000м., является границей двух участков, поэтому в указанной сумме он посчитан дважды. Значит, было построено (500000 – 4000): 2 = 248000м.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
	Полное верное решение.
5-6	Решение содержит вычислительные ошибки, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений.
	Не учли, что любой забор, кроме внешнего, является границей двух участков.
2-3	Верна часть рассуждения.
	Есть «рациональное зерно» в рассуждении.
	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
	Решение отсутствует.

 

5.Найдите сумму четырёхзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1,2,3,4.

Ответ: 66660

Решение: Чисел всего 24(= 4!) и в каждом разряде каждая из четырёх цифр присутствует 6 раз. Поэтому при суммировании 24 цифр в разряде единиц будем иметь 6∙(1 +2 + 3 + 4) = 60, в разряде десятков 600, в разряде сотен – 6ооо и разряде тысяч 60000.

6оооо + 6000 + 600 + 60 = 66660

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
	Полное верное решение.
	Найдены все разряды, но сделаны арифметические ошибки в конце вычисления.
	Ошибка в нахождении разряда единиц.
	Ошибка в нахождении разряда десятков.
2-3	Ошибка в нахождении разряда сотен.
	Ошибка в нахождении разряда тысяч.
	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
	Решение отсутствует.

 

6.Можно ли таблицу из пяти строк и шести столбцов заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел каждой строки была равна 30, а сумма чисел каждого столбца – 20?

Решение: Таким образом заполнить таблицу невозможно. В этой таблице сумма всех чисел, с одной стороны, была бы равной 5 умножить на 30 = 150, а с другой 6 умножить на 20 = 120.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
	Полное верное решение.
5-6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
	Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2-3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
	Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
	Решение отсутствует.