Введение
На рис. 1 изображена электрическая схема простейшего колебательного контура с сосредоточенными параметрами, содержащего конденсатор ёмкостью С, катушку индуктивности L и активное сопротивление R.
Рис.1 Электрическая схема колебательного контура
Если в какой-либо момент времени на одну из пластин конденсатора внести электрический заряд или создать условия для возникновения в катушке э. д. с. индукции, а затем убрать источники возбуждения, в контуре возникнут электромагнитные колебания.
Исследуем характер колебаний в идеальном контуре (т. е. для R = 0). При максимальном заряде q 0 конденсатора. Энергия электрического поля конденсатора ёмкостью С
,
где U 0 — максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора.
Под действием сил электрического поля заряды начинают движение по замкнутому участку цепи, конденсатор разряжается, и в контуре возникает электрический ток
, (1)
где q (t) — заряд на обкладках конденсатора. Знак «минус» указывает на возрастание тока при убывании положительного заряда соответствующей пластины конденсатора. Энергия электрического поля конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля катушки. Возрастание тока в катушке индуктивности приводит к появлению, в ней э. д. с. самоиндукции ε(t), противодействующей изменению тока,
|
|
.
Величина индуктивности L определяет инертные свойства контура. При полном разряде конденсатора его электрическое поле исчезает, а энергия электрического тока, локализованная в магнитном поле катушки, достигает наибольшего значения
,
где I 0—максимальная величина тока в контуре. С этого момента ток в контуре начинает убывать, вследствие чего э. д. с. самоиндукции изменяет знак, препятствуя убыванию тока. При этом энергия магнитного поля катушки уменьшается, а энергия электрического поля конденсатора растёт, стремясь к максимальному значению, которому соответствует полная перезарядка конденсатора. В этот момент времени мгновенные значения электрического тока и энергии магнитного поля обращаются в нуль. Далее процесс повторяется в обратном порядке, и в контуре устанавливаются незатухающие электромагнитные колебания (рис. 2).
Интервал времени между двумя ближайшими идентичными состояниями контура называется периодом колебаний Т.
Рис. 2. Незатухающие электромагнитные колебания
Заметим, что описанные выше колебания в идеальном контуре происходили бы бесконечно долго лишь при отсутствии электромагнитного излучения (замкнутый колебательный контур).
|
|
Если колебательный контур содержит активное сопротивление R, то при протекании изменяющегося тока в контуре часть суммарной энергии электрического и магнитного полей контура необратимо переходит в другие виды энергии (как и прежде не будем учитывать необратимые потери на электромагнитное излучение). При этом уменьшаются с течением времени амплитудные значения тока в контуре и разности потенциалов на обкладках конденсатора. Колебания затухают.
Временная зависимость разности потенциалов U (t) = φ1 – φ2 на обкладках конденсатора в данной работе наблюдается на экране осциллографа. Получим эту зависимость теоретически, используя закон Ома в обобщенной форме. Предположим, что параметры исследуемого контура L, С и R подобраны таким образом, что процессы в нём можно считать квазистационарными. Для мгновенных значений токов и напряжений в таком контуре закон Ома запишется в виде
. (2)
Преобразуем это уравнение, используя формулу (1) и учитывая, что q = CU. Тогда уравнение (2) примет вид
. (3)
Разделив обе части уравнения (3) на LC и введя обозначения
, ,
получим дифференциальное уравнение
, (4)
решение, которого даёт искомую зависимость U (t).
Следует отметить, что аналогичные дифференциальные уравнения могут быть получены для различного рода механических, электромеханических и других колебательных систем. В этих системах отсутствуют внешние вынуждающие воздействия, а силы сопротивления линейно зависят от скорости движения, при этом энергия, внесенная в систему извне, непрерывно уменьшается при колебаниях, переходя в энергию неупорядоченного процесса, в конечном счёте — в тепловую энергию.
Уравнение (4) есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для частного случая, когда , его решение имеет вид:
, (5)
где φ0 —начальная фаза колебаний, ω0 — циклическая частота затухающих колебаний:
. (6)
Уравнение (5) описывает асимптотически затухающий колебательный процесс (рис. 3) с периодом колебаний
Т .
Амплитудой затухающих колебаний считают величину
А , (7)
где U 0 — максимально возможное значение амплитуды.
Рис. 3. Затухающие электромагнитные колебания при .
Вообще говоря, при β ≠ 0 разность потенциалов U (t) не является строго периодической функцией времени U (t) ≠ U (t + T). Периодом колебаний в этом случае принято считать минимальные промежутки времени между значениями A (t) одного знака.
Как видно из формул (5) и (7) степень затухания колебаний зависит от величины β, которую называют коэффициентом затухания. Из (7) следует, что коэффициент затухания есть физическая величина, обратная времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз:
U 0/ А (τ) = е при t = τ = 1/β
Из (5) следует, что процесс затухания колебаний теоретически длится бесконечно долго. На практике процесс колебаний считается законченным при достаточном для каждого конкретного случая уменьшении амплитуды по сравнению с первоначальной.
Таким образом, характер колебательного процесса определяется соотношениями между электрическими параметрами контура R, L и С. Так, при β = 0 в контуре устанавливаются свободные гармонические, незатухающие колебания (рис. 2)
с периодом Т 0 =2π/ω0 = (формула У. Томсона).
При β = ω0 в контуре возникает апериодический процесс, так называемый критический режим, возможный при сопротивлении контура, равном критическому значению
|
|
(рис. 4).
Как было показано выше, при R < R кр, т. е. β2 < в контуре реализуется асимптотически затухающий колебательный процесс (рис. 3).
Рис. 4. Критический режим β = ω0.
При R > R кр, что соответствует β2 > , циклическая частота и период колебаний становятся мнимыми величинами. В контуре возникает асимптотически затухающий апериодический процесс разряда конденсатора на большое активное сопротивление (рис. 5). Для характеристики затухающих колебаний наряду с коэффициентом затухания δ приняты следующие величины: декремент затухания Δ, логарифмический декремент затухания Θ и добротность контура Q.
Декремент затухания Δ есть отношение амплитуд колебаний, разделенных во времени одним периодом.
В нашем случае, учитывая (7), имеем
т. е. декремент затухания является постоянной величиной, определяемой электрическими параметрами контура.
Логарифмический декремент затухания Θ вводится как натуральный логарифм декремента затухания и есть величина, обратная числу колебаний N, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз
.
Добротность контура Q — важный энергетический параметр. По величине добротность равна умноженному на 2π отношению электромагнитной энергии, имеющейся в контуре в данный момент времени, к энергии потерянной за один период колебаний, примыкающий к этому моменту, в частности, рассеянной на активном сопротивлении контура. Для колебаний при малых δ потери энергии на омическом сопротивлении за период в среднем равны
.
Рис. 5. Асимптотически затухающий апериодический процесс разряда конденсатора при β2 > .
Тогда величина добротности
.
Учитывая, что и , получим
. (8)
Для исследуемого контура при малом затухании, т. е.
, имеем , и .
Добротность в этом случае
. (9)
Физическую величину
называют волновым или характеристическим сопротивлением контура.
|
|
Из соотношений (8) и (9) следует, что контур, имеющий большое активное сопротивление, обладает малой добротностью, т. е. интенсивно теряет электромагнитную энергию, колебания быстро затухают.
Мы рассмотрели процессы, происходящие в колебательном контуре с сосредоточенными параметрами R, L и С, т. е. в идеализированном колебательном контуре. В реальных колебательных контурах нельзя выделить ни одного участка цепи, не обладающего активным сопротивлением, индуктивностью и ёмкостью, т. е. параметры R, L и С не являются сосредоточенными, а распределены по участкам цепи, что усложняет анализ колебательных процессов. При расчётах необходимо также учитывать входные электрические параметры измерительных приборов.
Схема установки и способ возбуждения и наблюдения колебаний
На рис. 6 приведена фотография и изображена схема установки для исследования затухающих колебаний в контуре RLC.