Порядок выполнения работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тверской государственный университет»

Кафедра общей физики

Лаборатория механики

Лабораторная работа №10

Определение модуля Юнга по изгибу стержня

Тверь

2012

Цель работы: определить модуль Юнга для меди и алюминия.

Теоретическая часть

Все реальные тела деформируемы. Под деформацией понимается изменение формы или объёма реальных тел под действием внешних сил. Деформации зависят как от приложенных сил, так и от свойств материалов. В случае твердых тел различают два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические. Упругими называют деформации, исчезающие после прекращения действия приложенных сил. Пластическими (остаточными) деформациями называют такие деформации, которые сохраняются в теле, по крайней мере частично, и после прекращения действия внешних приложенных сил.

Если сосредоточиться не на физике явлений, происходящих при деформациях, а на механике деформации, то упругие деформации поликристаллических твёрдых тел стоит рассматривать в рамках механики сплошных сред. В механике сплошных сред, в отличие от физики твёрдого тела, не рассматривается явление деформации с атомистической точки зрения, а используется понятие сплошной (непрерывной) среды, из которой образовано твёрдое тело. Для этого вводится понятие физически бесконечно малый объём. Это объём физически бесконечно малых частиц, на которые можно мысленно разбить твёрдое тело. Термин «физически» означает, что объём бесконечно мал не в математическом смысле (в математическом смысле он стремится к нулю), а в физическом. Т.е. этот объём должен содержать такое число частиц вещества, при котором свойства этого объёма сохраняли бы свойства всего твёрдого тела. Далее можно рассматривать положение этого объёма с помощью задания его радиус-вектора, ввести понятие скорости и ускорения при его перемещении в результате деформации т.д. При этом при нахождении производных по времени надо иметь в виду, что промежутки времени рассмотрения движения должны быть много больше периодов колебаний атомов кристаллического тела и, при этом, много меньше периода изменения макроскопических параметров (например, скорости распространения волны в веществе). Поэтому понятие производной в физике сплошных сред также отличается от такового в математическом смысле.

В механике сплошных сред различные части деформированного тела взаимодействуют между собой на поверхности раздела под действием внутренних сил. Например, на рис. 1 часть II деформируемого тела действует на площадке границы раздела на часть I с силой . При этом, сила, отнесённая к единице площади, называется внутренним напряжением, действующим в соответствующей точке на границе части I:

. (1)

У вектора силы есть три независимых направления. Поэтому и у вектора напряжений есть три независимые компоненты (проекции). В то же самое время, площадка обладает тремя независимыми ориентациями в пространстве, которые задаются с помощью вектора внешней (по отношению к деформируемой части) нормали . Индекс у вектора напряжения означает, очевидно, направление этой нормали. Если, например, нормаль направлена вдоль оси абсцисс, то пишут . Вектор напряжения (1) можно разложить на составляющую вдоль нормали и составляющую, лежащую в плоскости границы раздела. Первая составляющая называется нормальным, а вторая – тангенциальным (касательным) напряжениями, действующими на площадке . Коль скоро вектор напряжения (1) имеет три независимые компоненты и, при этом, определяется направлением нормали к границе раздела, то напряжение в каждой точке упруго деформированного тела можно характеризовать тремя векторами , и или девятью их проекциями, образующими тензор упругих напряжений:

(2)

Тензорные величины вводятся для описания анизотропии физических свойств. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Однородное растяжение стержня.

Приложим к основаниям однородного цилиндрического стержня длины и диаметром растягивающие силы . При этом длина стержня увеличится до величины , а диаметр уменьшится до величины . В силу того, что стержень как целое покоится, то покоятся все его части. Следовательно, скажем для части стержня, из условия равновесия следует равенство , где – внутренняя сила – сила, с которой часть действует на часть . Внутреннее напряжение тогда равно

. (3)

Следовательно, тензор напряжений для однородного растяжения (или сжатия) имеет вид:

. (3.а)

Относительное продольное удлинение стержня

, (4)

а относительное поперечное сжатие

. (5)

В случае малого растяжения справедлив закон Гука:

. (6)

Здесь коэффициент носит название модуля упругости или модуля Юнга. Он определяется свойствами материала, из которого изготовлено тело. Модуль Юнга зависит от вида деформации. Поперечное и продольное относительные деформации связаны коэффициентом Пуассона

(7)

Изменение объёма стержня равно

(8)

Здесь мы пренебрегли слагаемыми, пропорциональными и , т.к. закон Гука верен с относительной ошибкой порядка . Т.к. при растяжении , то коэффициент Пуассона удовлетворяет условию .

При квазистатическом растяжении (при такой медленной деформации, когда в любой момент времени каждая часть тела находится в состоянии равновесия) внешние силы всегда уравновешиваются силами внутренних напряжений . В таком случае работа, затрачиваемая на растяжение малого элемента объёма длины , равна

. (9)

Учитывая, что , , формула (9) принимает вид

. (9.а)

Полная работа пойдёт на приращение упругой энергии растянутого стержня:

. (10)

Энергия, приходящаяся на единицу объёма

. (11)

2. Однородный сдвиг.

Прикладывая к однородному и изотропному телу в форме параллелепипеда параллельные касательные силы, тело испытает деформацию сдвига. Эта деформация состоит в том, что все слои тела, параллельные его основанию , сдвигаются в одном и том же направлении (вдоль оси ). Тангенс угла между гранью до деформации и той же гранью после деформации называется углом сдвига:

. (12)

Закон Гука для деформации сдвига имеет вид

. (13)

Здесь – модуль сдвига, – касательное напряжение. Тензор напряжений при этом равен

. (14)

Объёмная плотность энергии упругой деформации при сдвиге определяется аналогично формуле (11):

. (15)

Отметим, что сдвиг эквивалентен растяжению вдоль оси и одновременному сжатию вдоль оси . Тогда в этих новых осях тензор напряжений примет вид

. (16)

В общем случае деформация является неоднородной. Тело испытывает разную деформацию в различных направлениях. Для описания такой деформации необходимо ввести тензор деформаций. Для того чтобы понять как появляется тензор деформаций, рассмотрим как изменяется положение каждой частицы физически бесконечно малого объёма. Смещение каждой точки можно охарактеризовать вектором смещения , являющимся при неоднородных деформациях функцией координат. Деформации в точке будут определены лишь тогда, когда известно смещение соседних с точкой Р частиц тела. Таким образом, задание смещения всех частиц тела полностью определяет его деформацию. В самом деле, рассмотрим две бесконечно близкие точки и . При недеформированном состоянии расстояние между этими точками равно , а после деформации – . Если при этом смещение точки равно , а точки – , то, как видно из рис.,

. (17)

Возведём равенство (17) в квадрат и, в приближении малых деформаций, пренебрежём квадратом последнего слагаемого

. (18)

Каждую компоненту вектора запишем согласно определению дифференциала:

. (19)

Вводя обозначения , (19) можно записать в краткой форме:

. (19.а)

Соотношение (18) принимает вид:

(20)

Здесь

(21)

– тензор деформаций, который является симметричным тензором . Можно показать, что диагональные элементы суть относительные удлинения

, (22)

а недиагональные элементы связаны с углом сдвига

. (23)

3. Неоднородное растяжение стержня.

Найдём удлинение стержня под действием своего веса. Условие равновесия заключённой между сечениями и части стержня имеет вид

Т.к. , , то

. (24)

Внутренне напряжение, таким образом, является функцией :

. (25)

Тогда согласно (22)

. (26)

Из (26) следует, что удлинение части стержня равно

. (27)

Константа определяется из граничного условия . Т.е. . Поэтому

. (28)

Удлинение стержня равно

. (29)

При этом энергия упругой деформации стержня равна с учётом (11) и (25)

(30)

4. Плоский изгиб балки.

Пренебрегая массой балки, рассмотрим её изгиб под действием внешней силы . Балка деформируется таким образом, что её ось (нейтральная линия) искривляется. Нейтральная линия отмечает положение слоя, не испытывающего при изгибе ни растяжения, ни сжатия. Все слои, лежащие ниже нейтральной линии, удлиняются, а слои, лежащие выше нейтральной линии, сжимаются. Чем дальше удалены слои от нейтрального, тем значительнее напряжение, возникающее в этих слоях. Направим ось вдоль нейтральной линии, а ось – по нормали к ней. Ось направлена перпендикулярно рисунку.

После приложения силы , отрезок, равный изначально , стал равным . Из рис. видно, что

(31)

Здесь – радиус кривизны прогнувшейся балки. Согласно (17)

. (32)

Из соотношений (31) и (32) следует, что . Следовательно,

(33)

Из условия равновесия балки следует

(34)

Здесь – момент сил упругости, действующих в рассматриваемом сечении.

Учитывая (33) момент сил упругости можно представить в виде

, (35)

где – момент инерции поперечного сечения балки. Интеграл берётся по всей площади поперечного сечения. Для стержня с круглым сечением радиуса момент равен

(36)

Из курса геометрии известно, что кривизна линии, заданной функцией , равна (производная отрицательна)

. (37)

При малых прогибах балки . Поэтому условие равенства моментов приобретает следующую форму

После однократного интегрирования по получим

В точке с координатой , где – расстояние между опорами, . Следовательно, и

Интегрируя по последнее соотношение в пределах от до , получим зависимость величины прогиба от расстояния от левой опоры :

. (38)

За меру деформации при изгибе принимают так называемую стрелу прогиба , которая по определению равна расстоянию, на которое перемещается точка приложения силы при деформации. Стрела прогиба зависит от способа закрепления стержня. В нашем примере

(39)

Если стержень закреплен одним концом, а сила приложена к другому концу, то

(40)

Если же оба конца стержня закреплены неподвижно, а сила приложена к середине стержня, то

(41)

Практическая часть

Описание установки

Прибор для определения модуля Юнга состоит из двух стоек с опорами, на которые помещается испытываемый образец. Стойки находятся на общем основании, причем одна из них может перемещаться. Это позволяет регулировать длину испытываемого образца. Нагружение испытуемого образца осуществляется с помощью гиревого подвеса и набора грузов.

Измерение прогиба образца производится с помощью индикатора часового типа с ценой деления 0.01 мм.

Порядок выполнения работы

1. Испытуемый образец поместить на опоры, с серединой его совместить индикатор и вращением стекла установить стрелку индикатора на “0”.

2. Нагрузить образец начальной нагрузкой Р одной гирей (её масса 0.5 кг). Показания стрелки индикатора записать в табл. (в колонку «при увеличении нагрузки»).

3. Проделать подобные измерения при 2-х, 3-х и т.д. гирях (прибавляя грузы “Р₁”, затем “Р₂”, и т. д.), занося соответствующие значения стрел прогиба в ту же колонку.

Затем идут в обратном порядке, уменьшая нагрузку и снова определяя стрелу прогиба для каждой нагрузки (колонка «при уменьшении нагрузки»). Когда все грузы сняты, проверяют соответствие показания индикатора нулевому делению.

При увеличении нагрузки таблица заполняется сверху вниз, а при уменьшении – снизу вверх.

Запись результатов измерений и расчетов:

1. Материал стержня и его форма.

2. Заносят в таблицу размеры стержня.