Задания, для самостоятельной работы

ВВЕДЕНИЕ

 

В буровой, горной и обогатительной отраслях промышленности широко распространены вибрационные машины различного назначения (транспортеры, дробилки, грохоты, вибробуры и др.). Теория колебаний разрабатывает аналитические методы, используемые для описания динамики работы всех этих машин.

Изложены основы теории колебаний систем с двумя степенями свободы. Приведены типовые примеры построения расчетных моделей типовых колебательных систем с двумя степенями свободы на основе составления уравнения Лагранжа II рода. «Методические указания…» содержат варианты расчетно-графических работ (РГР) для самостоятельного решения.

Цель выполнения РГР состоит в том, чтобы научить будущих горных инженеров строить расчетные модели колебательных систем, определять законы и параметры колебаний и на этой основе определять уровни их динамической нагруженности.

Работы необходимо выполнять на листах бумаги форматаА4, оформляя на компьютере (рисунки допускается чертить карандашом).

 

 

1. Теоретические сведения

Теория колебаний изучает механические колебания, или вибрации элементов машин.

Механические колебания бывают полезными и вредными. Вибрации, возникающие, например, при работе горного комбайна, могут ухудшать технологические и прочностные условия его работы. Вредные вибрации возникают и при работе бурильных станков, а также ряда обогатительных машин, например, в конусных инерционных дробилках.

С другой стороны, в горной и обогатительной промышленности широко распространены вибрационные машины транспортного и другого назначения (грохоты, питатели, транспортеры и др.). Все они используют принцип вибрационного перемещения материала (руды).

Теория колебаний разрабатывает аналитические методы, использование которых необходимо для динамического описания работы всех этих машин, широко используя методы высшей математики и теоретической механики.

Свободные колебания. Рассмотрим консервативную механическую систему с двумя степенями свободы. Положение всех точек системы при этом определяется с помощью двух обобщенных координат – q₁ и q₂, а скорости всех точек выражаются через соответствующие обобщенные скорости  и . Вблизи положения равновесия кинетическая энергия системы с двумя степенями свободы определяется выражением

,                      (1)

т.е. является квадратичной формой обобщенных скоростей. Ввиду того, что кинетическая энергия по своему смыслу всегда положительна, должны выполняться следующие неравенства

                     (2)

       Потенциальная энергия вблизи положения равновесия определяется выражением

,                  (3)

т.е. является квадратичной формой обобщенных координат.

Здесь - квазиупругие коэффициенты:

.

       В положении равновесия . Обобщенные координаты будем отсчитывать от положения равновесия . Их отклонения от положения равновесия предполагаются малыми. Обобщенные силы, соответствующие потенциальным силам, в положении равновесия также равны нулю:

.      (4)

       Положение равновесия может быть устойчивым и неустойчивым. Если колебательная система находится в устойчивом положении равновесия, то после малого возмущения обобщенных координат система возвращается к этому положению  после некоторого колебательного движения. Таким образом, малые колебания системы возможны только около положения устойчивого равновесия. В положении устойчивого равновесия потенциальная энергия системы имеет строгий минимум (теорема Дирихле), который определяется условиями

               (5)

       В случае системы с двумя степенями свободы уравнения Лагранжа II рода имеют вид:

       Подставляя в последние уравнения выражения (1) и (3) для кинетической и потенциальной энергии системы, получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

,                            6)

которые и являются уравнениями малых колебаний рассматриваемой системы.

       Частное решение системы (6) запишем в виде:

                       (7)

где k - неизвестная частота колебаний, А и В – неизвестные постоянные (амплитуды колебаний).

После подстановки решения (7) в уравнения (6) получим систему двух однородных алгебраических уравнений относительно постоянных А и В:

.                  (8)

       Система уравнений (6) имеет отличные от нуля решения только в том случае, если ее определитель равен нулю

=0                     (9)

или

. (10)

       Уравнение (9) (и, соответственно, (10)) носит название частотного.

       Можно показать, что дискриминант биквадратного уравнения (10) положителен. Совместно с условиями (2) и (4) это означает, что уравнение (10) имеет два вещественных положительных корня относительно k² – квадратов круговых частот свободных колебаний (собственных частот):

       Таким образом, рассматриваемые колебания являются двухчастотными, причем . Этим частотам соответствуют две формы колебаний:

 - 1 - я форма колебаний;

 - 2 - я форма колебаний.

       Постоянные А₁, В₁, А₂, В₂ не являются независимыми и из системы (8) не могут быть определены однозначно. Определены (например, из первого уравнения (8)) могут быть лишь их отношения и - коэффициенты первой и второй форм колебаний:

, .     (11)

       Можно показать, что и . Таким образом, 1-я форма свободных колебаний является одноузловой, 2- я форма - двухузловой.

       Найденным частотам свободных колебаний соответствует общее решение

(12)

где А₁, В₁, a₁, a₂ - произвольные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Вынужденные колебания. Пусть на рассматриваемую колебательную систему действуют возмущающие силы, изменяющиеся со временем по гармоническому закону:

       Обобщенные силы определяются как коэффициенты при вариациях обобщенных координат q₁ и q₂ в выражении для элементарной работы:

.

       Эти силы будут также гармоническими функциями времени:

Тогда неоднородные уравнения Лагранжа II рода будут иметь вид:

,

или после подстановки в них выражений (1) и (3) для кинетической и потенциальной энергий:

. (13)

       Решение системы (13) будем искать в виде вынужденных колебаний по обобщенным координатам:

где р - частота вынужденных колебаний, А и В - амплитуды колебаний.

Для определения амплитуд колебаний получим неоднородную систему, левые части уравнений которой аналогичны (8):

       Решая последнюю систему по методу Крамера, будем иметь

.    (14)

       Здесь - определитель (9) на частоте возмущения. Поскольку  и  являются корнями уравнения , то при  или  амплитуды вынужденных колебаний А и В неограниченно возрастают и в системе будет иметь место резонанс. Те значения частоты возмущения р, при которых амплитуды А и В в (14) обращаются в ноль, называются частотами антирезонанса. На рис. 1.1 построены резонансные кривые для каждой степени свободы.

Задание. Определить частоты малых свободных колебаний, а также формы свободных колебаний системы с двумя степенями свободы, пренебрегая силами сопротивления, массами пружин и моментами инерции скручиваемых валов.

Порядок выполнения работы:1) Составить общее решение, определив постоянные интегрирования из начальных условий. 2)Рассмотреть вынужденные колебания в системе под действием заданной возмущающей силы  или момента . Считать, что сила всегда приложена в центре масс тела. Вычислить обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам и связанные с действием заданного возмущающего усилия. Используя полученные для свободных колебаний однородные уравнения Лагранжа, составить дифференциальные уравнения движения, описывающие вынужденные колебания системы в обобщенных координатах. Построить резонансную кривую для каждой обобщенной координаты. Маховики и шестерни (за исключением косозубых) считать сплошными однородными дисками, стержни - тонкими однородными. Пружины деформируются только вдоль своих осей. Во всех случаях качение дисков происходит без проскальзывания.

Пример 1. Система состоит (рис. 1.2) из двух тел, соединенных пружинами между собой и c неподвижным основанием.

Дано:m₁ = 4 кг; m₂ = 4 кг; с₁=3×10³ Н/м; с₂=2×10³ Н/м.

Начальные условия: телу с массой m₁ сообщается скорость 10 м/c, направленная вниз.

Для расчета вынужденных колебаний считать, что система находится под действием гармонической возмущающей силы , приложенной к телу с массой m₁ и направленной вниз, F₀ = 100 Н.

Решение. За обобщенные координаты примем x₁ и x₂ – вертикальные перемещения грузов, отсчитываемые от положений статического равновесия тел (О₁ и О₂). Соответствующие обобщенные скорости -  и . Кинетическая энергия системы:

 

 .       (15)

 

Потенциальная энергия:

  (16)

       Здесь первые два слагаемых соответствуют энергии упругой деформации пружин, вторые два – потенциальной энергии поля силы тяжести; - статические деформации пружин.

Используя (4), получаем систему для определения :

       Отсюда:  После подстановки этих выражений в (16) и преобразований, получим

.  (17)

Свободные колебания. После подстановки выражений для кинетической (15) и потенциальной (17) энергий в уравнения Лагранжа, получим дифференциальные уравнения свободных колебаний системы:

                    (18)

       Решение системы будем искать в виде:

       Для определения постоянных А и В получим систему, аналогичную (8):

                 (19)

       Частотное уравнение, согласно (9) и (10):

или, после подстановки значений масс и жесткостей:

.

       Как биквадратное, это уравнение имеет два вещественных корня , соответственно, собственные частоты будут равны:

Коэффициенты первой и второй форм по (11):

       Таким образом, при колебаниях системы по 1-ой форме оба тела отклоняются от положения равновесия в одном направлении; при этом отклонение тела массой m₂ в два раза превышает отклонение тела массой m₁. При колебаниях по 2-ой форме тела отклоняются в противоположные стороны и, наоборот, отклонение тела массой m₁ в два раза превышает отклонение тела массой m₂ (рис. 1.3).

       Найденным частотам свободных колебаний соответствует общее решение:

 (20)

       Постоянные интегрирования А₁, A₂, a₁, a₂ определим из системы уравнений, составленной по начальным условиям ():

       Решив систему, получим:

А₁=0,13 м; A₂=0,2 м; a₁=a₂=0.

       Подставив значения постоянных интегрирования в решения (19), получим окончательный вид общего решения задачи вынужденных колебаний.

Вынужденные колебания. Элементарнаяработа сил, приложенных к первому и второму телам (F₂=0), и, следовательно, обобщенные силы Q₁=F₁, Q₂= 0. Уравнения Лагранжа для вынужденных колебаний (13) будут иметь вид (правые части этих уравнений совпадают с правыми частями уравнений (18)):

       Решение последней системы будем искать в виде:

       При этом для определения амплитуд вынужденных колебаний А и В получим неоднородную систему:

       Решая ее, получим:

             (21)

       Здесь - определитель правой части системы (21) (определитель однор одной системы (19) на частоте возмущения). По формулам (21) построим резонансные кривые А(р) и В(р) (рис. 1.4).

Из условия А=0 определим частоту антирезонанса

Пример 2. Система состоит (рис. 1.5) из сплошного цилиндра 1 и двух стержней: горизонтального ОЕ (3) и шарнирно закрепленного в точке А стержня АВ (2). Дано:m₁ = 6 кг, m₂ = 4 кг, m₃ = 2 кг, с₂=2×10² Н/м, l=1 м, r =2 м. Начальные условия: телу 3 сообщается скорость 2 м/c, направленная вправо.

Для расчета вынужденных колебаний считать, что система находится под действием гармонической возмущающей силы , приложенной к стержню ОЕ и направленной вправо, F₀ = 40 Н.

Решение. За обобщенные координаты примем j₁ и j₂ –угловые перемещения цилиндра и стержня АВ соответственно. В данном случае в положении статического равновесия значения j₁=j₂ =0, и пружина не деформирована. Соответствующие обобщенные скорости -  и . Кинетическая энергия системы (тела 1 и 2 совершают плоскопараллельное движение, тело 3 – поступательное); кинетическая энергия тела 3, совершающего сложное движение, определяется по теореме Кëнига:

,           (22)

       где ,

В последней формуле  ввиду предполагаемой малости колебаний. Здесь следует удерживать лишь слагаемые второй степени по обобщенной скорости. После подстановки в (22) выражений для скоростей ,  и моментов инерции, а затем значений всех исходных данных, получим окончательное выражение для кинетической энергии системы

.

       Потенциальная энергия определяется энергией деформированной пружины и энергией в поле силы тяжести стержня АВ:

Свободные колебания. После подстановки выражений для кинетической и потенциальной энергий в уравнения Лагранжа получим дифференциальные уравнения свободных колебаний системы:

                   (23)

       Решение системы будем искать в виде

       Для определения постоянных А и В получим систему:

                   (24)

       Частотное уравнение, согласно (9) и (10):

.

       Собственные частоты:

Коэффициенты первой и второй форм из первого уравнения (24):

Таким образом, при колебаниях системы по 1-ой форме цилиндр 1 практически неподвижен, а колебания совершает стержень АВ. При колебаниях по 2-ой форме угловые колебания цилиндра и стержня АВ близки по величине, но противоположны по направлению(рис. 1.6).

       Найденным частотам свободных колебаний соответствует общее решение

(25)

       Постоянные интегрирования А₁, В₁, a₁, a₂ определим из системы уравнений, составленной по начальным условиям ():

       Решив систему, получим:

А₁=0,01 м; A₂=0,3; a₁=a₂=0.

       Подставив значения постоянных интегрирования в решения (25), получим окончательный вид общего решения задачи свободных колебаний.

Вынужденные колебания. Элементарнаяработа сил, приложенных к первому и второму телу (М₂=0) и, следовательно, обобщенные силы Q₁=F₁r, Q₂= 0. Уравнения Лагранжа для вынужденных колебаний (13) будут иметь вид

       Решение последней системы будем искать в виде

       При этом для определения амплитуд вынужденных колебаний А и В получим неоднородную систему

       Решая ее, получим

           (26)

По формулам (26) построим резонансные кривые А(р) и В(р) (рис. 1.7). Из условия А=0 определим частоту антирезонанса

Пример 3. Система состоит (рис. 1.8) из четырех шестеренок 1 – 4 (однородных сплошных дисков), закрепленных на упругих валах и попарно (1–4 и 2-3) входящих в зацепление. Концы А и В вала заделаны. Дано: массы шестеренок:m₁ = 300 кг; m₂ = 200 кг; m₃ = 100 кг; m₄ = 50 кг; радиусы шестеренок: r₁=0,5м; r₂=0,7м; r₃=0,3м; r₄=0,5м; крутильные жесткости валов: с₁=100 Н·м; с₂=150 Н·м; с₃=200 Н·м. В положении статического равновесия валы недеформированы.

Начальные условия: шестерне 1 сообщается угловая скорость 2 c^-1, направленная против часовой стрелки.

Для расчета вынужденных колебаний считать, что система находится под действием гармонического возмущающего момента , приложенного к шестерне 1 и направленного против часовой стрелки, М₀ = 40 Н.

Решение. За обобщенные координаты примем j₁ и j₂ –угловые перемещения шкивов 1 и 2 соответственно. В данном случае в положении статического равновесия значения j₁=j₂=0. Соответствующие обобщенные скорости -  и . Кинетическая энергия системы:

,

где J₁, J₂, J₃, J₄ – моменты инерции шестеренок 1 - 4,

       После подстановки в (27) выражений для моментов инерции, а затем значений всех исходных данных получим окончательное выражение для кинетической энергии системы

.

       Потенциальная энергия складывается из энергий упруго деформированных валов (крутильных пружин):

.

Свободные колебания. После подстановки выражений для кинетической и потенциальной энергий в уравнения Лагранжа получим дифференциальные уравнения свободных колебаний системы:

       Решение системы будем искать в виде:

       Для определения постоянных А и В получим систему:

                     (27)

       Частотное уравнение:

.

       Собственные частоты:

Коэффициенты первой и второй форм определим из первого уравнения (28):

       Таким образом, при колебаниях системы по 1-ой форме шестерни 1 и 2 совершают колебания, близкие по амплитуде, отклоняясь одновременно от положения равновесия в одном направлении. При колебаниях по 2-ой форме они отклоняются в противоположных направлениях, и амплитуда углового отклонения шестерни 2 в два раза больше, чем шестерни 1 (рис. 1.9).

       Найденным частотам свободных колебаний соответствует общее решение

(28)

       Постоянные интегрирования А₁, A₂, a₁, a₂ определим из системы уравнений, составленной по начальным условиям ():

       Решив систему, получим:

А₁=0,5; A₂=0,7; a₁=a₂=0.

       Подставив значения постоянных интегрирования в решение (28), получим окончательный вид общего решения задачи вынужденных колебаний.

Вынужденные колебания. Элементарнаяработа сил, приложенных к первому второму телу (М₂=0) и, следовательно, обобщенные силы Q₁=M₁, Q₂= 0. Уравнения Лагранжа для вынужденных колебаний (13) будут иметь вид:

       Решение последней системы будем искать в виде:

       При этом для определения амплитуд вынужденных колебаний А и В получим неоднородную систему

       Решая ее, получим

            (29)

По формулам (29) построим резонансные кривые А(р) и В(р) (рис. 10).

       Из условия А=0 определим частоту антирезонанса

 

Задания, для самостоятельной работы.

 

ВАРИАНТ 1

Система состоит из двух упруго закрепленных тел – одно (1) установлено на катки и может перемещаться вдоль горизонтальной плоскости, другое (2) – на катках перемещается по наклонной плоскости первого. Массой и размерами катков пренебрегаем. В положении равновесия пружина с жесткостью с₁ не деформирована, пружина с жесткостью с₂ – деформирована.

Дано:m₁ = 8 кг, m₂ = 2 кг, с₁=2×10³ Н/м, с₂=1,5×10³ Н/м.

Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 2м/c, направленная влево; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вправо, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 2

Система состоит из двух упруго закрепленных тел - однородных стержней длиной 2l и 1,5l, способных вращаться в вертикальной плоскости относительно осей шарниров. Стержни 1 и 2 в положении равновесия занимают вертикальное положение, пружины в этом положении не деформированы.

Дано:l = 0,5 м,m₁ = 5 кг, m₂ = 2 кг, с₁=6×10² Н/м, с₂=8×10² Н/м, с₃=7×10² Н/м.

Начальные условия: стержню 1 сообщается угловая скорость 5 с^-1, направленная против часовой стрелки;

возмущающий момент приложен к телу 1, M₀= 10 Н·м.

 

ВАРИАНТ 3

Система состоит из двух упруго закрепленных тел - однородных стержней длиной 1,5l и 2l, способных вращаться в вертикальной плоскости относительно осей шарниров. Стержни шарнирно соединены жесткой безмассовой вставкой 3. Стержни 1 и 2 в положении равновесия занимают вертикальное положение, пружины в этом положении не деформированы

Дано:l = 0,5 м,m₁ = 5 кг, m₂ = 2 кг, с₁=8×10² Н/м, с₂=6×10² Н/м, с₃=7×10² Н/м. Начальные условия: стержню 1 сообщается угловая скорость 1 с^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к телу 1, M₀= 10 Н·м.

 

ВАРИАНТ 4

Система состоит из двух тел – диска 1 и однородного стержня 2 длиной 1,75l, способного вращаться в вертикальной плоскости относительно оси шарнира. В положении равновесия стержень 2 вертикален и обе пружины не деформированы.

Дано:l = 0,3 м,R = 0,3 м,m₁ = 4 кг, m₂ = 1 кг, с₁=4×10³ Н/м, с₂=3×10³ Н/м. Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 4м/c, направленная влево; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вправо, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 5

Система состоит из двух тел – упруго закрепленного тела 1, установленного на катки и однородного стержня (2) длиной l, способного вращаться в вертикальной плоскости относительно оси шарнира, жестко связанного с телом 1. В положении равновесия стержень 2 вертикален и пружины не деформированы.

Дано: l = 0,3 м,R = 0,3 м,m₁ = 3 кг, m₂ = 1 кг, с₁=6×10² Н/м, с₂=4×10² Н/м, с₃=8×10² Н/м. Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 10 м/c, направленная вправо; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вправо, Р₀= 100 Н.

 

 ВАРИАНТ 6

Система состоит из трех тел – маховика 1, шестерни 2 и тела 3, установленного на невесомые катки, на которых оно может перемещаться в горизонтальной плоскости. Тела 1 и 2 связаны упругими (на кручение) осями между собой и неподвижной стенкой. В положении равновесия все пружины не деформированы.

Дано:R = 0,4 м,m₁ = 30 кг, m₂ = 30 кг, m₃ = 10 кг, с₁=2×10⁴ Н·м, с₂=1×10⁴ Н·м, с₃=1×10⁴ Н/м.

Начальные условия: маховику 1 сообщается угловая скорость 4 c^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к маховику 1, M₀= 20 Нм.

 

ВАРИАНТ 7

Система состоит из трех тел – тела 3, шестерни 1, тела (бруска) 2, связанного с помощью невесомых катков с вертикальной плоскостью, вдоль которой оно может перемещаться. Шестерня 1 связана упругой (на кручение) осью с неподвижной стенкой. В положении равновесия все пружины оказываются деформированы, т.е. получают статические удлинения l_{ст i}.

Дано:R = 0,4 м,m₁ = 40 кг, m₂ = 20 кг, m₃ = 10 кг, с₁=3×10⁴ Н·м, с₂=1×10⁴ Н/м, с₃=1,5×10⁴ Н/м.

Начальные условия: шестерне 1 сообщается угловая скорость 10 1/c, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к шестерне 1, M₀= 20 Н·м.

 

 

ВАРИАНТ 8

Система состоит из двух тел – маховиков 1 и 2, насаженных на упругий вал. На концах А и В вал жестко закреплен. Жесткости на кручение участков вала - с₁, с₂, с₃. Массой вала пренебрегаем. В положении равновесия вал не деформирован.

Дано: R = 0,2 м,m₁ = 50 кг, m₂ = 60 кг, с₁=2×10⁴ Н·м, с₂=3×10⁴ Н·м, с₃=1×10⁴ Н·м.

Начальные условия: маховику 1 сообщается угловая скорость 20 1/c, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к маховику 1, M₀= 50 Н·м.

 

ВАРИАНТ 9

Система состоит из четырех тел – шестеренок 1, 2, 3, 4. Одним из концов ось шестерни 1 жестко закреплена. Жесткости на кручение осей шестеренок 1, 3 - 4 - с₁, с₂. Массой осей пренебрегаем. Ось шестерни 2 – абсолютно жесткая. В положении равновесия пружины - оси не деформированы.

Дано: R = 0,35 м,m₁ = 40 кг, m₂ = 60 кг, m₃ = 30 кг, m₄ = 40 кг, с₁=1×10⁴ Н·м, с₂=3×10⁴ Н·м.

Начальные условия: шестерне 4 сообщается угловая скорость 40 1/c, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к шестерне 1, M₀= 20 Н·м.

 

ВАРИАНТ 10

Система состоит из четырех тел – двух упруго закрепленных одинаковых дисков радиуса R и массой m₃, горизонтальной балки 1, длинной l и однородного стержня 2 длиной b, способного вращаться в вертикальной плоскости относительно оси шарнира, жестко связанного с балкой 1. В положении равновесия стержень 2 вертикален и пружины не деформированы. Проскальзывания между дисками и балкой нет.

Дано:l = 3 м,R = 0,5 м, а =0,2 м, m₁ = 15 кг, m₂ = 10 кг, m₃ = 20 кг, с=6×10² Н/м.

Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 10 м/c, направленная вправо; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вправо, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 11

Система состоит из трех тел – двух упруго закрепленных брусков 1, 2 с массами m₁ и m₂ и цилиндра 3 с массой m₃. В положении равновесия пружины не деформированы. Проскальзывания между цилиндром и брусками нет.

Дано:R = 0,4 м,m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг, m₃ = 8 кг, с₁=20×10² Н/м, с₂=40×10² Н/м, с₃=30×10² Н/м.

Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 20 м/c, направленная вправо; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вправо Р₀= 20 Н.

 

ВАРИАНТ 12

Система состоит из двух тел – упруго закрепленного тела 2, находящегося в особых вертикальных направляющих и однородного стержня 1 длиной 3,5l, способного вращаться в вертикальной плоскости относительно оси шарнира. В положении равновесия обе пружины оказываются деформированы, т.е. получают статические удлинения l_{ст i}, стержень 1 – получит угловое статическое перемещение.

Дано:l = 0,5 м,m₁ = 8 кг, m₂ = 10 кг, с₁=40×10³ Н/м, с₂=60×10³ Н/м.

Начальные условия: стержню 1 сообщается - угловая скорость 4 с^-1, направленная по часовой стрелке; возмущающий момент приложен к стержню 1, M₀= 20 Н·м.

 

ВАРИАНТ 13

Система состоит из четырех тел –двух упруго закрепленных одинаковых дисков радиуса R и массой m₃, горизонтальной балки 1, однородного стержня 2 длиной b, способного вращаться в вертикальной плоскости относительно оси шарнира, жестко связанного с балкой 1. В положении равновесия стержень 2 вертикален и пружины не деформированы. Проскальзывания между дисками и балкой нет.

Дано:R = 0,5 м, а =0,2 м, b=2 м, m₁ = 15 кг, m₂ = 10 кг, m₃ = 20 кг, с=6×10² Н/м.

Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 10 м/c, направленная вправо; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вправо, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 14

Система состоит из двух тел – диска 1 и однородного стержня 2 длиной l, способного вращаться в вертикальной плоскости относительно оси шарнира А. В положении равновесия стержень 2 вертикален и пружина не деформирована.

Дано: l = 0,6 м,R = 0,5 м,m₁ = 4 кг,

m₂ = 1 кг, с=4×10³ Н/м.

Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 4м/c, направленная влево;

возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вправо, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 15

Система – двойной физический маятник - состоит из двух однородных стержней 1 и 2, расположенных в вертикальной плоскости. Длины стержней l₁ и, l₂; каждый способен вращаться относительно горизонтальных осей в точках О и А соответственно.

Дано:l₁ = 1 м, l₂ = 2 м,m₁ = 4 кг, m₂ = 8 кг. Начальные условия: стержню 1 сообщается скорость 10 м/c, направленная влево; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вправо, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 16

Система состоит из трех тел –конических шестеренок 1 и 2 и диска 3. Одним из концов оси шестеренки 1 и диска 3 жестко закреплены. Жесткости на кручение осей тел 1, 2 и 3 - с₁, с₂, с₃. Массой осей пренебрегаем. В положении равновесия пружины - оси не деформированы. Оси x-x и y-y взаимно перпендикулярны; i₂  i₁ – радиусы инерции шестеренок 2 и 1.

Дано:R = 0,4 м,m₁ = 30 кг, m₂ = 40 кг, m₃ = 20 кг, с₁=1×10⁴ Н·м, с₂=0,5×10⁴ Н·м, с₃=2×10⁴ Н·м, i₂ = i₁ =0,5 м.

Начальные условия: колесу 3 сообщается угловая скорость 20 c^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к колесу 1, M₀= 10 Н·м.

 

ВАРИАНТ 17

Система состоит из двух тел: рамки 1 из трех одинаковых однородных стержней, жестко соединенных в точках О, А, В, способной вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной оси шарнира в точке О и исходно вертикального однородного стержня 2, способного вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной оси шарнира в точке С. Пружины деформируются только вдоль своей оси. В положении равновесия пружины не деформированы.

Дано:l = 0,4 м,m₁ = 40 кг, m₂ = 2 кг, с₁=2×10² Н/м, с₂=1×10² Н/м.

Начальные условия: стержню 1 сообщается угловая скорость 1 с^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к телу 1 и направлен по часовой стрелке, M₀= 20 Н·м.

 

 

ВАРИАНТ 18

Система состоит из двух тел – цилиндров 1 и 2, радиусов r₁ и r₂ соответственно. Цилиндры способны перекатываться по параллельным горизонтальным плоскостям без скольжения.

Дано:r₁ = 0,5 м,r₂ = 0,3 м,m₁ = 6 кг, m₂ = 4 кг, с₁=2×10³ Н/м, с₂=1×10³ Н/м, с₃=3×10³ Н/м.

Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 10 м/c, направленная влево; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вправо, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 19

Система состоит из шкива 1 (сплошного однородного диска радиуса r), закрепленного на валу с крутильной жесткостью с₁ и двух грузов 2, подвешенных к концам троса, переброшенного через шкив. Вал заделан концами А и В в вертикальные направляющие. Направляющие крепятся к вертикальным пружинам жесткости с₂. В положении равновесия вертикальные пружины деформированы (т.е. получают статические удлинения l_ст ), валы – нет.

Дано: r = 0,4 м,m₁ = 80 кг, m₂ = 20 кг, с₁=3×10⁴ Н·м, с₂=6×10⁵ Н/м.

Начальные условия: шкиву 1 сообщается угловая скорость 20 c^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к шкиву 1, M₀= 20 Н·м.

 

ВАРИАНТ 20

Система состоит из двух упруго связанных однородных цилиндров радиуса r и массы m, способных вращаться относительно горизонтальных осей, проходящих через точки О’ и О^’₁ соответственно. Точки О’ и О^’₁ смещены по вертикали относительно О и О₁  на r/2.

Дано: r = 0,5 м, а =0,2 м, m₁ = 15 кг, с =6×10² Н/м.

Начальные условия: правому цилиндру сообщается скорость 10 м/c, направленная вправо; возмущающая сила приложена к правому цилиндру и направлена вправо, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 21

Система состоит из двух дисков - 1 и 2, один из них (радиуса r) закреплен на упругом валу с крутильной жесткостью с, а другой (радиуса r/2) может вращаться относительно горизонтальной оси, параллельной оси вала и проходящей через точку О на ободе первого диска.

Дано: r = 0,4 м,m₁ = 80 кг, m₂ = 40 кг, с₁=3×10⁴ Н·м.

Начальные условия: диску 2 сообщается угловая скорость 20 c^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к диску 1, M₀= 20 Н·м.

 

ВАРИАНТ 22

Система состоит из двух дисков 1 и 2. Первый может перекатываться по горизонтальной плоскости, а другой может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О на ободе первого диска.

Дано: r = 0,4 м,m₁ = 100 кг, m₂ = 50 кг, с=4×10⁴ Н/м.

Начальные условия: диску 2 сообщается угловая скорость 10 c^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающая сила приложена к диску 1 и направлена вправо, Р₀= 80 Н.

 

ВАРИАНТ 23

Система состоит из шкивов 1 и 3 (сплошных однородных дисков) и груза 2. Шкив 1 закреплен на валу с крутильной жесткостью с₁. Вал заделан концами А и В в вертикальные направляющие. Направляющие крепятся к вертикальным пружинам жесткости с₂. Ось шкива 3 абсолютно жесткая. В положении равновесия вертикальные пружины и вал деформированы (т.е. получают статические удлинения l_{ст i}).

Дано: r = 0,4 м,m₁ = 80 кг, m₂ = 20 кг, m₃ = 40 кг, с₁=3×10⁴ Н·м, с₂=6×10⁵ Н/м. Начальные условия: шкиву 1 сообщается угловая скорость 10 c^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к шкиву 1, M₀= 10 Н·м.

 

ВАРИАНТ 24

Система состоит из двух находящихся в вертикальной плоскости дисков 1 и 2. Первый может перекатываться по горизонтальной плоскости, а другой вращается относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О – центр первого диска. Радиус диска 2 равен . Точка О соединена с горизонтальной, расположенной в плоскости дисков, пружиной.

Дано: r = 0,4 м,m₁ = 60 кг, m₂ = 20 кг, с=3×10⁴ Н/м.

Начальные условия: диску 2 сообщается угловая скорость 4 c^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к диску 1 против часовой стрелки, M₀= 20 Н·м.

 

ВАРИАНТ 25

Система состоит из двух, находящихся в вертикальной плоскости, дисков 1 и 2. Первый может вращаться вокруг горизонтальной оси, а другой- относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О – центр первого диска. Ось диска 1 абсолютно жесткая. Радиус диска 2 равен . Точка О соединена с горизонтальной, расположенной в плоскости дисков, пружиной.

Дано: r = 0,4 м,m₁ = 50 кг, m₂ = 10 кг, с=5×10⁴ Н/м.

Начальные условия: диску 2 сообщается угловая скорость 4 c^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающая сила приложена к диску 1 и направлена вправо, Р₀= 50 Н.

 

ВАРИАНТ 26

Система состоит из двух упруго закрепленных тел, находящихся на гладкой наклонной плоскости. В положении равновесия все пружины деформированы.

Дано:m₁ = 8 кг, m₂ = 2 кг, с₁=2×10³ Н/м, с₂=1,5×10³ Н/м.

Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 2м/c, направленная вниз вдоль наклонной плоскости; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вниз вдоль наклонной плоскости, Р₀= 50 Н.

 

 

ВАРИАНТ 27

Система состоит из двух упруго закрепленных тел, находящихся на гладкой наклонной плоскости. В положении равновесия все пружины деформированы.

Дано:m₁ = 12 кг, m₂ = 8 кг, с₁=2×10³ Н/м, с₂=1,5×10³ Н/м, с₃=4×10³ Н/м.

Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 2м/c, направленная вниз вдоль наклонной плоскости; возмущающая сила приложена к телу 1 и направлена вниз вдоль наклонной плоскости, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 28

Система состоит из двух упруго закрепленных тел, находящихся на гладкой наклонной плоскости. В положении равновесия все пружины деформированы.

Дано:m₁ = 10 кг, m₂ = 6 кг, с₁=2×10³ Н/м, с₂=1,5×10³ Н/м, с₃=1×10³ Н/м. Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 2 м/c, направленная вниз вдоль наклонной плоскости; возмущающая сила приложена к телу 2 и направлена вниз вдоль наклонной плоскости, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 29

Система состоит из двух упруго закрепленных тел – цилиндров 1 и 2, находящихся наклонной плоскости. В положении равновесия все пружины деформированы.

Дано:m₁ = 12 кг, m₂ = 18 кг, с₁=4×10⁴ Н/м, с₂=2,5×10⁴ Н/м, с₃=5×10⁴ Н/м.

Начальные условия: телу 1 сообщается скорость 2 м/c, направленная вниз вдоль наклонной плоскости; возмущающая сила приложена к телу 2 и направлена вниз вдоль наклонной плоскости, Р₀= 100 Н.

 

ВАРИАНТ 30

Система состоит из двух тел – шкивов 1 и 2 (i₁  i₂ – радиусы инерции шкивов), насаженных на упругие валы. На концах А и В вал жестко закреплен. Жесткости на кручение валов - с₁, с₂, с₃. Массой валов пренебрегаем. Шкивы связаны ремнем с жесткостью на растяжение с₃. В положении равновесия валы и ремень не деформированы.

Дано: m₁ = 50 кг, m₂ = 60 кг, с₁=2×10⁵ Н·м, с₂=3×10⁵ Н·м, с₃=1×10⁴ Н/м, i₂ = i₁ =0,5 м.

Начальные условия: шкиву 1 сообщается угловая скорость 15 c^-1, направленная против часовой стрелки; возмущающий момент приложен к шкиву 1, M₀= 50 Н·м.

 

Рекомендуемый библиографический список

 

1. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике. Яблонский А.А. и др. М.: Высш. шк., 1985.

2. Горшков Л.К. Основы теории механических колебаний в разведочном бурении: Учебное пособие. СПб.: СПГГИ, 1998. –109 с.

3. Теория механических колебаний с примерами из практики горного дела. Нагаев Р.Ф., Шкадов Р.И., Лебедев Н.А и др. – СПб.: СПГГИ, 1993. –88 с.

4. Горшков Л.К., Яковлев А.А. Теория колебаний: Методические указания к РГР. СПб.:СПГГИ, 2005.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1. Введение…………………………………………………….3
2. Теоретические сведения……………………………………4

1. Задания для самостоятельной работы……………………21
2. Рекомендуемый библиографический список……………35