Основные законы логики

Тема 5. основные законы логики

Тождественно истинные и тождественно ложные формулы

Из раздела 3.1. мы знаем, что с помощью букв латинского алфавита, символов, обозначающих логические союзы и скобок мы можем формализовать (записать в виде формулы) любое сложное суждение. Истинность сложного суждения будет зависеть от истинности составляющих его простых суждений и логических союзов.

 

Теперь отметим, что можно составить такие формулы, которые будут всегда истины, вне зависимости от того, какие конкретные простые суждения мы подставим на место переменных. И. наоборот, можно составить такие формулы, которые всегда будут ложны, что бы мы не подставили на место переменных. Например, формула AÚ~A (например, «сегодня светит солнце или сегодня не светит солнце», «на луне есть жизнь или на луне нет жизни» и т.п.) будет всегда истинной, что бы не подставили вместо A. А формула A&~A («сегодня светит солнце и сегодня оно не светит», «на Луне есть жизнь и на Луне жизни нет» и т.п.) будет всегда ложной, что бы мы не подставили вместо A. Такие формулы называют в логике тождественно истинные и тождественно ложные формулы.

 

Итак, тождественно истинная формула логики суждений – это формула, дающая истинное суждение при любых значениях (истинных или ложных) ее переменных.

 

Тождественно ложная формула – это формула, дающая ложное суждение при любых значениях ее переменных.

 

Опираясь на сказанное, можно определить, что называют логической истиной или логической ложью. Логически истинным или логически ложным мы можем назвать такие рассуждения, которые истины или ложны вне зависимости от истинности или ложности составляющих их суждений, а в силу используемых логических структур.

Основные законы логики

Познавая окружающий мир, человек отражает в своем мышлении явление действительности. Важным условием достижения истинных знаний является правильная связь мыслей, обусловленная законами формальной логики. Закон мышления, или логический закон, - это внутренняя, существенная, необходимая связь между мыслями. Формально-логические законы отражают наиболее простые и вместе с тем необходимые условия правильного мышления. Несоблюдение этих законов делает мышление путанным, бессвязным, противоречивым, приводит к ошибкам в рассуждениях. Теперь мы можем определить, что называют законами логики.

Логический закон – это тождественно истинная формула, т.е. выражение, содержащие только логические константы и переменные и являющееся истинным в любой (непустой) области объектов.

 

Логических законов бесконечно много. Мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее часто используемые из них.

 

1. Закон непротиворечия говорит о противоречивых суждениях, т.е. о суждениях, одно из которых является отрицанием другого.

Этот закон выражается формулой:

~(A&~A) – т.е. неверно, что A и не-A; или: формула «A и не-A» всегда ложна.

Сформулировать этот закон можно следующим образом:

Два противоречивых суждения не могут быть одновременно истинными.

Из двух противоречащих друг другу суждений одно является ложным.

Закон непротиворечия – важнейший закон логики. Он был сформулирован еще Аристотелем. Все остальные закон логики могут быть выведены из него. Любое рассуждение, содержащее в себе противоречие, должно считаться ошибочным.

2. Закон исключенного третьего тоже говорит о противоречивых суждениях.

Этот закон выражается формулой:

AÚ~A – т.е. истинно, что A или не-A.

Сформулировать этот закон можно следующим образом:

Два противоречащих суждения не могут быть одновременно ложными.

Из двух противоречащих суждений одно является истинным.

Исключенного третьего этот закон называется потому, что не может быть ситуации, когда и суждение и его отрицание будет ложным, а истиной будет нечто третье.

3. Закон тождества говорит о том, что каждое суждение вытекает из самого себя.

Этот закон выражается формулой:

A®A – если A, то A.

Формулировка этого закона следующая:

Если суждение истинно, то оно истинно.

4. Закон двойного отрицания – это закон, позволяющий отбрасывать двойное отрицание в формулах.

Этот закон выражается формулой:

~~A«A – если неверно, что не-A, то верно A.

Формулируется это закон следующим образом:

Отрицание отрицания эквивалентно утверждению.

Помимо основных законов логики выделяются также следующие законы логики, имеющие важное значение для правильного мышления:

5. Закон контрапозиции говорит о перемене позиций в импликациях с помощью отрицания.

Этот закон выражается формулой:

(A®B)® (~B®~A) – если дело обстоит так, что если A, то B, то если не-B, то не-A.

 

(Например, из суждения «Если слово стоит в начале предложения, то оно пишется с большой буквы» следует суждение «Если слово не написано с большой буквы, оно не стоит в начале предложения).

Сформулируем закон следующим образом:

Если из некоего основания вытекает следствие, то из отрицания следствия вытекает отрицание основания.

6. Законы де Моргана – это законы, позволяющие переходить от конъюнкций к дизъюнкциям и от дизъюнкций к конъюнкциям. Законы названы именем американского логика А. де Моргана.

~(A&B) «(~AÚ~B) – если неверно, что A и B, то или неверно, что A, или неверно, что B.

(Если неверно, что сегодня тепло и сухо, то, значит, или неверно, что сегодня тепло, или неверно, что сегодня сухо).

Отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний.

~(AÚB) «(~A&~B) – если неверно, что A или B, то и неверно, что A, и неверно, что B.

 

(Если неверно, что Петров знает английский или немецкий язык, то, значит, Петров не знает ни английского, ни немецкого.

Отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний.

7. Закон привидения к абсурду. В теории доказательств, привидение к абсурду – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-то положения путем выведения из него абсурда, т.е. противоречия. Такие рассуждения основываются на соответствующем законе логики:

(A®B) &(A®~B) ®~A – если из A следует B, и из A следует не-B, то не-A.

Если из суждения вытекает противоречие, значит суждение неверно.

8. Закон косвенного доказательства. В теории доказательств косвенным доказательством называют демонстрацию истинности какого-либо суждения путем опровержения противоречащего ему суждения. Такая демонстрация истинности основывается на одноименном законе логики:

(~A®B) &(~A®~B) ®A – если из не-A вытекает B и из не-A вытекает не-B, то A.

Если из отрицания суждения вытекает противоречие, значит суждение верно.

9. Закон Клавия (по имени ученого монаха XVI в.) является частным случаем двух предыдущих законов.

Формальная запись его может быть такая:

(A®~A)® ~A – если из A следует не-A, то не-A.

Формулировка:

Если из суждения вытекает его собственное отрицание, то суждение неверно.

Этим законом можно опровергать радикальный скептицизм. Скептик говорит: «Все суждения ложны». Значит и суждение «Все суждения ложны» тоже ложно. Значит неверно, что все суждения ложны.

10. Закон транзитивности говорит о свойстве последовательных импликаций:

(A®B) &(B®C)®(A®C) – если из A следует B, и из B следует C, то из A следует C.

Если из первого суждения следует второе, а из второго – третье, то из первого следует третье.

11. Закон коммутативности говорит о свойствах конъюнкций и дизъюнкций:

(A&B)«(B&A) – A и B эквивалентно B и A.

(AÚB)«(BÚA) - A или B эквивалентно B или A.

Члены конъюнкций и дизъюнкций можно менять местами.

12. Закон ассоциативности также, как и предыдущий закон, говорит о свойствах конъюнкций и дизъюнкций:

A&(B&C)«(A&B)&C

AÚ(BÚC)«(AÚB)ÚC

Члены конъюнкций и дизъюнкций можно по-разному группировать.

 

12. Закон достаточного основания требует, чтобы в случае каждого утверждения указывались основания, в силу которых оно принимается и считается истинным. В логике традиционной это требование обоснованности знания, именуемое законом достаточного основания, включалось (наряду с законом непротиворечия, законом исключенного третьего, законом тождества и др.) в число т. наз. «основных законов мышления» или «основных законов логики».

Рассмотрев основные законы логики, мы может определить, что представляет собой логическое следование. Из суждения A логически следует суждение B, если импликация A®B является частным случаем какого-либо закона логики.