Теоретические вопросы и упражнения

11 класс, первый семестр.

1. Производная. Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой. Производные высших порядков. Геометрический и механический смысл второй производной.

Для функции найдите .

1.1. В каких точках касательная к кривой параллельна отрезку AB, A(-2;0), B(1;3)?

1.2. Написать уравнение нормали к кривой в точках пересечения её с прямой у=1.

1.3. Написать уравнение касательной к кривой в точке (1;0).

1.4. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону . Определите кинетическую энергию через 5с после начала движения.

1.5. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью а м/с. На какой высоте будет оно через t секунд? Определить скорость движения тела. Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от Земли?

2. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного функций, сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций (вывод).

2.1. Дана функция . Найти

3. Дифференциал функции. Дифференцируемость функции. Геометрический смысл дифференциала, свойства и применение к приближённым вычислениям.

4.1 Найти значения приращения и дифференциала функции , соответствующее изменению х от 2 до 2,1.

4.2 Для каких функций приращение и дифференциал функции совпадают?

4.3 Найти

4.4 Найти приближённо

4.5 Вычислить приближённо

4. Связь дифференцируемости и непрерывности функции, дифференцируемости и существования производной. Дифференциалы высших порядков.

5.1 , найти .

5. Теорема Ферма. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на замкнутом промежутке.

6.1 Проиллюстрировать правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функций на примере: .

6.2 На окружности найти точку, наименее удалённую от точки (6;0).

6.3 Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна р. Найдите длину высоты пирамиды, при которой её объём наибольший.

6.4 В круг радиуса R вписан прямоугольный треугольник. Найдите его площадь, если известно, что она принимает наибольшее из возможных значений.

6. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

7.1 Показать, что функция везде убывает.

7.2 Показать, что функция везде возрастает.

7.3 Доказать, что уравнение , имеет единственный корень.

7.4 При каких значениях а функция возрастает на всей числовой прямой.

7. Экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

8.1 Исследовать на экстремум функцию .

8.2 Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

8.3 Напишите уравнение касательной к графику функции в точке её минимума.

9. Выпуклость и вогнутость кривой. Необходимые и достаточные условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба кривой. Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба.

9.1 При каком значении а кривая будет вогнутой на всей числовой оси?

9.2 Найти точки перегиба кривой

9.3 При каких значениях а и в точка (1;3) является точкой перегиба кривой ?

10. Асимптоты кривой, их отыскание.

10.1 Найти асимптоты кривой

10.2 Найти асимптоты кривой

11. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

11.1 Исследовать функцию и построить её график.

1. Первообразная функция, неопределенный интеграл: определения, не единственность первообразной, теорема существования неопределенного интеграла (формулировка), интегрирование в элементарных функциях.

1.1 Найти ошибку в рассуждениях:

а)