МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Составление математической модели
Участок представляет собой объект с сосредоточенными параметрами. Баланс сил для данного участка
(4.1)
где - масса жидкости в сосредоточенном объеме, кг;
-скорость жидкости, м/с;
- сила давления на входе и выходе, Н;
- сила тяжести, Н;
- угол наклона участка к горизонту;
- сила трения, Н.
Сила давления на входе создается давлением в источнике и насосе. Перейдем от баланса сил к балансу давлений выражение (4.2) и найдем приращение (4.3), получаем
, (4.2)
где - перепад давления на насосе и потери на трении.
, (4.3)
где L - суммарная длина прямых частей трубопровода на участке, м;
- сечение трубопровода,
Для насоса зависимость может быть получена с помощью семейства расходных характеристик
. (4.4)
Потери давления в трубопроводе определяется по уравнению
. (4.5)
Зависимость между потерей давления в клапане , расходом и проходным сечением выражается такой формулой
, (4.6)
, (4.7)
где - коэффициент расхода клапана;
- коэффициент сопротивления клапана.
Исходная математическая модель участка представляет собой систему нелинейных уравнений:
(4.8)
Линеаризация исходных уравнений
Значение находим путем дифференцирования уравнения (4.3)
. (4.9)
Частные производные определяются из соотношений:
. (4.10)
Тогда уравнение (4.9) можно упростить
(4.11)
Изменение потерь на трение в трубопроводах находят дифференцирование уравнения (4.5)
. (4.12)
Обозначив , получаем
. (4.13)
Изменения перепада давления на возмущениях является следствие перемещения клапана. В соответствии с этим путем дифференцирования находим
. (4.14)
Введем обозначение ; , тогда получаем
. (4.15)
Обозначим , тогда получим линейную аналитическую модель участка расхода:
(4.16)
Дифференциальное уравнение первого порядка, характеризующее в общем виде динамические свойства системы по расходу жидкости.
(4.17)
При регулировании расхода путем дросселирования можно записать дифференциальное уравнение участка:
, (4.18)
Разделив уравнение на выражение в скобках, получим:
(4.19)
где
(4.20)
(4.21)
Как следует из полученного уравнения, переходная функция представляет собой экспоненту с постоянной времени .
Из уравнения (4.19) можно непосредственно получить передаточную функцию (инерционное звено 1-го порядка)
, (4.22)