Тема 2. Разрешающая система уравнений метода конечных элементов для стержневого конечного элемента

Разрешающая система уравнений МКЭ отображает основные свойства расчетной схемы строительной конструкции: ее равновесие и неразрывность (совместность) перемещений под действием нагрузок на узлы дискретизации.

Важным моментом при выводе уравнений является учет того, что равновесие конструкции обеспечивается как за счет равновесия собственно КЭ (что уже учтено при построении его матрицы жесткости), так и за счет равновесия сил в узлах дискретизации, куда через узловые сечения КЭ, включенных в конкретный узел, передаются (со сменой знака) усилия, возникающие в концевых сечениях КЭ вследствие перемещений узлов дискретизации.

Следует также обратить внимание на то, что в расчетной схеме при выполнении условия совместности перемещений сечений, входящих в один и тот же узел, может не исполняться условие совместности деформаций. Именно эта ситуация имеет место в опорных сечениях, когда сечение, принадлежащее опоре, может иметь абсолютную жесткость.

2.1. Характеристики стержневого конечного элемента в глобальной системе координат

Основой для пересчета характеристик КЭ из ЛСК в ГСК является матрица преобразования . В соответствии с формулами (7) узловые перемещения в ЛСК преобразуются по формуле . Аналогичное преобразование происходит и с другими двухкомпонентными матрицами-столбцами , , .

Наибольший интерес представляет выражение для усилий в ГСК, поскольку именно в усилиях формируются условия равновесия узлов дискретизации. Из теоретической механики известно, что система твердых тел находится в равновесии тогда и только тогда, когда находится в равновесии каждая точка этой системы. А из курса МДТТ к этим условиям добавилось требование совместности перемещений и деформаций точек сплошной деформируемой среды.

При вычислении характеристик стержневого КЭ в ЛСК мы удовлетворили требованиям равновесия собственно КЭ, когда учли знаки продольных усилий в формуле (5), а также требованию совместности перемещений, когда воспользовались законами МДТТ в форме (3), (4).

Однако у нас остались неудовлетворенными соответствующие требования по отношению к узлам дискретизации и сечениям КЭ, которые входят в эти узлы. Именно поэтому нам и требуются выражения для усилий в узловых сечениях КЭ, так это позволит сформулировать условия равновесия этих узлов в ГСК.

Рассмотрим связь между усилиями в стержневом КЭ, записанную в ГСК, взяв за основу формулу (6). Умножив обе части этой формулы на матрицу  слева (напомним, что перемножение матриц не обладает свойством перестановочности), получим:

.

Теперь воспользуемся связью (7) ЛСК с ГСК для матрицы  и получим далее:

, (9)

где в качестве  обозначена матрица жесткости стержневого КЭ в ГСК, которая, таким образом, вычисляется по формуле:

. (10)

Эта формула важна тем, что отображает соотношение между узловыми усилиями и узловыми перемещения в одной и той же форме, как в ЛСК (см. формулу (6)), так и ГСК – по формуле (9).

2.2. Формулировка разрешающей системы уравнений метода конечных элементов

Условия равновесия узлов дискретизации сформулируем на основе данных рис. 4.

Рис. 4. Равновесие узла дискретизации

Ясно, что в узел i передаются усилия с нескольких КЭ, причем каждое из передаваемых с конкретного КЭ усилия, приходя в узел, меняет свой знак на противоположный. Кроме усилий с КЭ, в узел могут быть приложены и сосредоточенные силы нагрузки. Под действием этих сил и формируется равновесие узла.

Запишем условия равновесия отдельного узла дискретизации под действием указанных сил с учетом того, что условия равновесия будут формулироваться в ГСК.

Поскольку вектор внешних сил в узле i всегда можно представить в виде столбца из его проекций на оси ГСК, то, объединяя столбцы проекции усилий от каждого КЭ в узле i в общую матрицу-столбец и таким же образом поступая с проекциями внешних сил в этом узле, нетрудно записать уравнения равновесия узла в проекциях на оси ГСК:

где суммирование ведется по всем усилиям, которые передаются в этот узел с КЭ, объединенных в нем, и по всем нагрузкам, приложенным к этому узлу.
Располагая формулой (9) для вектора усилий в узле i, а также учитывая тот факт, что усилия должны быть вычислены только в одном узле КЭ (т.е. будет использована только часть матрицы жесткости КЭ – подматрица, которая соответствует вектору перемещений в узле i), уравнение равновесия этого узла можно переписать в виде:

Если учесть, что перемещения всех КЭ в узле i должны происходить совместно, т.е. у каждого КЭ они одинаковые, то суммирование в первой части формулы следует распространять только на компоненты подматриц жесткости КЭ, так что из условия совместности перемещений узловых сечений, входящих в данный узел, можно записать следующее матричное выражение:

 

Поскольку используемые подматрицы жесткости всех КЭ имеют один размер (2х2), то их суммирование приводит к матрице того же размера. Обозначим ее . Аналогичное замечание относится и к вектору нагрузки – после суммирования всех внешних сил в узле мы получим матрицу размером (2х1), с компонентами . Тогда для одного узла i систему линейных алгебраических уравнений относительно двух узловых перемещений в ГСК и можно записать в следующей форме:

. (11)

Если все неизвестные узловые перемещения объединить в одну матрицу-столбец, и все узловые силы объединить таким же образом, то из условия получения для каждого узла соотношения типа (11) матрица жесткости образованной таким способом системы, должна иметь блочно-диагональную структуру, как это показано в формуле ниже:

Полученная система уравнений относительно узловых перемещений и является разрешающей СЛАУ МКЭ. Для формирования ее окончательного вида следует учесть, что часть перемещений опорных узлов может отсутствовать. Кроме того, следует учесть, что сечения разных КЭ в одном узле имеют одинаковые компоненты векторов перемещений вследствие совместности перемещений этих сечений в составе одного узла. Так что окончательно получаем СЛАУ в виде:

, (12)

где обозначения для компонентов СЛАУ (12) введены с учетом замечания о закрепления конструкции. Здесь  – квадратная симметричная матрица жесткости конструкции (ансамбля КЭ),  – матрица-столбец неизвестных узловых перемещений узлов дискретизации,  – матрица-столбец внешних узловых сосредоточенных сил.

Элементы всех матриц (12) вычисляются в ГСК. Порядок системы уравнений определяется суммарным числом деформирующих степеней свободы узлов дискретизации ЗРС.

 

2.3. Автоматизация составления системы разрешающих уравнений

Для автоматизации учета отмеченных выше особенностей разрешающей системы уравнений (12) применяется таблица индексов, которая определяет систему деформирующих степеней свободы ЗРС.

Суть работы с таблицей состоит в том, что каждая деформирующая глобальная степень свободы узла дискретизации (узловое перемещение ) отмечается в поле таблицы без повторения (т.е., если она встречается у другого КЭ в этом же узле, то ей приписывается уже существующий номер). Зафиксированная в таблице нумерация используется для формирования матрицы жесткости конструкции  путем суммирования элементов матриц жесткости отдельных элементов, находящихся в столбцах, номера которых соответствуют одним и тем же глобальным степеням свободы узлов дискретизации.

Степени свободы узлов, отсутствующие из-за наличия связей, помечаются как нулевые и нумерации не подлежат. Тем самым из СЛАУ исключаются уравнения, соответствующие реактивным силам.

В основе работы по заполнению таблицы лежит изображение стандартного стержневого КЭ с принятым порядком нумерации деформирующих степеней свободы в ГСК. Нумерация собственно КЭ остается за исполнителем, точно так же, как и нумерация узлов дискретизации. Хотя для узлов можно применять рекомендацию о минимальной разности номеров узлов, определяющих КЭ данной расчетной схемы.

Таблица индексов имеет вид, представленный на рис. 5.

Рис. 5. Таблица для автоматизации составления матрицы индексов