ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ПЛАН ЛЕКЦИИ
I. Определение дробно-рациональной функции. Простейшие дроби
II. Разложение правильной дроби на простейшие. Метод неопределенных коэффициентов
III. Интегрирование простейших дробей
IV. Правила интегрирования дробно-рациональных функций
I. Определение дробно-рациональной функции. Простейшие дроби. Дробно-рациональной функцией называется функция вида
, (1)
где – многочлены степеней m и n соответственно. В дальнейшем считаем, что коэффициенты этих многочленов действительные числа, и .
Если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , то дробь (1) называют правильной. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, т.е. , то дробь называют неправильной. В последнем случае, выполняя деление числителя на знаменатель, дробь (1) можно представить как сумму многочлена и правильной рациональной дроби.
|
|
Простейшими дробями называют дроби следующих четырех типов:
1. , 2. , 3. , 4. ,
где .
II. Разложение правильной дроби на простейшие. Метод неопределенных коэффициентов. Всякую правильную рациональную дробь можно представить как алгебраическую сумму простейших дробей. Ранее было показано, что всякий многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на линейные и квадратичные множители. Представим в виде такого разложения знаменатель дроби (1):
(2)
где - действительные корни многочлена кратностей соответственно, а квадратные трехчлены соответствуют комплексно сопряженным корням этого многочлена с кратностями .
Тогда дробь (1) можно представить как сумму следующих простейших дробей:
Последнее соотношение представляет собой тождество при определенном выборе постоянных . Константы могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Этот метод состоит в том, что дроби в правой части приводятся к общему знаменателю, который в силу (2) равен . Тогда в левой и правой частях получим две дроби с равными знаменателями и, следовательно, с равными числителями. Приравнивая к многочлену с неопределенными коэффициентами , получим систему уравнений относительно .
Пример 1. Разложить на простейшие дробь .
Решение:
Приравняем числители:
.
Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x:
x 3: 1= A+M 2=2 N N =1
x 2: 4= A+B+ 2 M+N 2=2 M M =1
|
|
=> =>
x: 3= A+M+ 2 N A =1- M A =0
x 0: 2= A+B+N B= 2 -A-N B =1
Тогда:
III. Интегрирование простейших дробей. Рассмотрим интегралы от простейших дробей четырех типов:
1) ;
2) ;
3)
4)
Найдем
или
.
Получим рекуррентную формулу
, (3)
позволяющую интеграл свести к интегралу .
Применяя соотношение (3) n раз, интеграл можно свести к табличному интегралу
.
Пример 2. Найти неопределенный интеграл .
Решение. Воспользуемся формулой (3) для :
Тогда:
IV. Правила интегрирования дробно-рациональных функций. Сформулируем общие правила интегрирования таких функций:
1) определяем, является ли рассматриваемая дробь правильной или неправильной; в случае, когда дробь неправильная, представляем ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби;
2) правильную рациональную дробь представляем как сумму простейших дробей с неизвестными коэффициентами;
3) коэффициенты разложения находим по методу неопределенных коэффициентов;
4) интеграл от исходной дроби в общем случае представляется как сумма интегралов от многочлена (если ) и от простейших дробей.
Пример 3. Найти неопределенный интеграл .
Решение.
1. Интегрируемая дробь является неправильной, поэтому разделим числитель на знаменатель и получим . (4)
2. Разложим правильную дробь на простейшие:
;
;
x 2 : 0=A+B+C A =2 A =2
x: 3= B-C => 2 B =1 =>
x 0 : -2=- A C=B- 3
Получим . (5)
3. С учетом (4) и (5) найдем интеграл