Лекция
Механический (физический) смысл производной (Исаак Ньютон): скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. если s(t)-закон движения материальной точки, то её скорость в любой момент времени находится по формуле: v(t)=s'(t).
Ускорение материальной точки в данный момент времени равно производной скорости по времени, т.е. если v(t) – это скорость материальной точки, то её ускорение в любой момент времени находится по формуле: a(t)=v'(t).
Образцы решения задач
Пример 1. Путь, пройденный материальной точкой, задаётся следующей функцией: s=3t2-2t+4. Найдите скорость движения точки в момент времени t=5с.
Решение: Скорость – это производная пути - v(t)=s'(t),т.е. v(t)= Подставляем в это выражение вместо t значение 5 с, получаем: v(5)=
Ответ: v(5)
Пример 2. Тело движется прямолинейно по закону s(t)=3+2t+t2 (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t=1 c.
Решение: Скорость – это производная пути - v(t)=s'(t),т.е. v(t)= Подставляем в это выражение вместо t значение 1 с, получаем: v(1)=
|
|
Ускорение – это производная от скорости: a(t)=v'(t), т.е. . Подставляем вместо t его значение 1 с, получаем .
Ответ: v(1) .
Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону: s=6t-t2. Через сколько времени точка остановится?
Решение: Остановка – это значит, что скорость точки равна нулю. Значит, нужно найти скорость и приравнять её к нулю, решить получившееся уравнение. v(t)=s'(t),
т.е. v(t)= . Получаем:
Ответ: через 3 с.
Контрольное задание.
1) Точка движется прямолинейно по закону: s(t)=2t3+t2-4. Найти её скорость и ускорение в момент времени t=4с.
2) Точка движется прямолинейно по закону s=6t-t2. В какой момент времени её скорость окажется равной нулю?
3) Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид: s=3t2-1.
Ответы: 1) 104 м/с; 50 м/с2 2) t=3 с 3) 7200 Дж
Тренировочное задание.
1) Для автомобиля тормозной путь определяется формулой: s(t)=30t-16t2. В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки автомобиля? Какое расстояние пройдёт автомобиль с начала торможения до полной его остановки?
2) Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону: s=2t2+3t-1. Найти кинетическую энергию тела (Eк= ) через 3с после начала движения.
3) Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s=t3+t-27, другое – по закону s=t2+1. Определить момент времени, когда скорости этих тел окажутся равными.
4) Найдите силу F(F=ma), действующую на материальную точку с массой 3 кг, движущейся по закону s(t)=t2-4t4 (м) при t=3 с.
Лекция (продолжение)
Геометрический смысл производной (Готфрид Вильгельм Лейбниц): Значение производной функции y=f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке х, т.е. k=tg =f '(x).
|
|
Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х0 имеет вид: y=f(x0)+f '(x0)(x-x0)
Алгоритм нахождения уравнения касательной
1. Находят f(x0), т.е. подставляют х0 в функцию.
2. Находят производную f'(x).
3. Находят значение производной в точке х0, т.е. f'(x0).
4. Подставляют найденные числа в уравнение касательной.
Пример 4. Найти уравнение касательной к графику функции
Примеры 5,6
Контрольное задание.
1) Составить уравнение касательной к параболе y=x2-4x в точке с абсциссой х0=1.
2) Дана кривая y=-x2+4. Построить к ней касательную в точке х0=-1.
Ответы: 1) y=-2x-1 2) y=2x+5.
Тренировочные упражнения.
Напишите уравнение касательной к графику функции f в точках с указанной абсциссой:
а) f(x)=x2, x0=1
б) f(x)=х3, х0=2
в) f(x)= , х0=-1
г) f(x)= , х0=4
Практическая работа
Выполняем тот вариант, на котором сидите на уроках математики!
1 вариант | 2 вариант |
1.Записать уравнение касательной к кривой f(x)=x2-3 в точке х0=2. | 1.Записать уравнение касательной к кривой f(x)=x2-3 в точке х0= . |
2.Составить уравнение касательной к параболе у=х2-6х+5 в точке с абсциссой х0=4. | 2.Составить уравнение касательной к параболе у=2х2-5х+3 в точке с абсциссой х0=2. |
3.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении материальной точки задана уравнением:s= t3+2t2-3. Найти её скорость в момент времени t=4с. | 3.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении материальной точки задана уравнением:s= t3+ t2+2. Найти её скорость в момент времени t=2с. |
4.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тел задана уравнениями: s1= t3+2t2-45 и s2= t2+4t+115. В какой момент времени их скорости движения будут равны? | 4.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении материальной точки массой 12 кг задана уравнением: s=t2+2t+3. Найти кинетическую энергию тела (Eк= ) через 5 с после начала движения. |
Контрольные вопросы (письменно):
1. В чём заключается физический смысл производной?
2. Как найти ускорение?
3. Что такое касательная к графику функции?
4. В чём заключается геометрический смысл производной?
5. Запишите формулу уравнения касательной к графику функции.
6. Для решения каких задач можно использовать производную?