Задания для практической работы

МАТЕМАТИКА

Группа 88

Тракторист-машинист с/х производства

Марта 2020 г.

Практическое занятие

 

Тема:   «Вычисление объёма пирамиды, конуса и шара»

Цели:

- систематизировать, обобщить знания и умения по применению различных методов решения задач;

- развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.

 

Продолжительность занятия  - 2 часа

 

Оборудование:  карточки с заданиями, чертежные инструменты, ручка, тетрадь

Краткие теоретические сведения:

Краткое обсуждение  тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении задач.

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле: 

, где S – площадь основания, h - высота

hh

2. Объём конуса вычисляется по формуле: 

, где S – площадь основания, h – высота

h

 

3.  Объём шара равен: R3

R

 

Примеры решения задач:

Пример 1.

В правильной треугольной пирамиде с вершиной биссектрисы пересекаются в точке , , . Найдите длину отрезка . (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение. Так как пирамида правильная, то точка будет проектироваться в центр треугольника , то есть в точку (точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника и есть его центр). Значит, найти надо высоту пирамиды. Мы знаем, что , откуда

Ответ: .

 

Пример 2

От треугольной пирамиды отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания . Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды , если . (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Иллюстрация к условию задачи 2

Решение. Проблема здесь в том, что найти площадь основания и высоту нельзя. Но это и не нужно. Запишем два равенства и . Заметим, что раз вершина и плоскость основания у новой пирамиды те же, то и высота та же. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Высота у новой пирамиды и старой одна и та же

То есть чтобы посчитать объем необходимо знать, во сколько раз площадь основания новой пирамиды меньше площади основания исходной. , т.к. с коэффициентом подобия .

Тогда .

Ответ: .

 

Пример 3

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра , если все его ребра увеличить в два раза ? (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Исходный и увеличенный тетраэдры

Решение. Заметим, что в этом случае площадь основания увеличится в раза, т. к. исходную сторону увеличили в раза и получили треугольник со стороной . (См. Рис. 5.). То есть .

Рис. 5. Основание исходного и увеличенного тетраэдра

Высота тетраэдра также увеличится в раза. Доказать это можно так: опустим высоту и рассмотрим прямоугольный : в нем гипотенуза увеличилась вдвое и катет тоже как радиус описанной окружности около основания. Значит, треугольник перейдет в подобный с коэффициентом . (См. Рис. 6.) То есть .

Рис. 6. Треугольник с коэффициентом подобия

. Раз площадь увеличилась в раза, а высота – в , то объем увеличится в раз .

Ответ: в раз.

Задания для практической работы

 

Вариант 1   

1. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см, плоский угол при вершине 60º. Найти объём пирамиды.

2. Образующая конуса равна 4 см. а угол при вершине осевого сечения равен 90º. Найти объём конуса.

3. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см, а острый угол 45º, вращается вокруг катета. Найти объём полученного тела вращения.

4. В цилиндр вписан шар радиуса R. Найти отношение объёмов цилиндра и шара.

 

Вариант 2   

1. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45º. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найти объём пирамиды.

2. Высота конуса равна диаметру его основания. Определить объём конуса, если его высота равна Н.

3. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 6 см, а острый угол 45º, вращается вокруг катета. Найти объём полученного тела вращения.

4. В сферу вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол α. Найти объём цилиндра, если радиус сферы равен r. 

 

Домашнее задание:

Оформить отчет по практической работе

Список литературы:

Геометрия 10-11 класс, автор Атанасян А.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., учебник для общеобразовательных организаций, базовый и углубленный уровни, 6 издание, Москва «Просвещение» 2019г.