ЗОТ группа МЦМ-19, Математика 15.04.2020
Тема: Интегрирование методом замены переменной.
Задание:
Изучить новый материал. Записать в тетрадь опорный конспект с решением примеров.
2. Решить задание № 5 из своей контрольной работы ( кто сдал контрольную, то на отдельном листе, кто не сдал (это залет), то в контр. тетради).
Фото выполненной работы СЕГОДНЯ отправлять ТОЛЬКО по этой ссылке в ВК: https://vk.com/topic-193913663_41388847
Таблица первообразных. Вычисление неопределенных интегралов.
(У вас есть в методичке по математике)
Функция f(x) | Первообразная F(x) | Пример |
0 | С | |
1 | х + С | |
k – (число) | kx + C | |
x | ||
sin x | - cos x +C | |
cos x | sin x+C | |
tg x +C | ||
- ctg x+C |
Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл.
Это интеграл сложной функции. Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
|
|
Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.
Так как , то
После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :
В итоге:
Таким образом:
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Готово.
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
“
Проведем замену:
“
Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
Также всем рекомендую использовать математический знак вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл.
Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)
|
|
Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл.
Замена:
Осталось выяснить, во что превратится
Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !
Готово.
Пример 4
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
Замена:
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)
В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.
В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.
Замена:
Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:
Пример 6
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
Проведем замену:
Пример 7
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
Проведем замену:
ИТАК, обобщим! Удобней всего заменять на букву t внутреннюю часть сложной функции, потом от нее найти производную (дифференциал) dt. И составить новую простую функцию с буквой t.