ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА по теме «Производная функции»
Цель. Научиться дифференцировать функции одного переменного
Задачи. Выучить правила дифференцирования функций. Научиться решать задачи на применение производной
Ход работы:
1. Познакомиться с теоретическим материалом
2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)
3. В тетрадях для практических работ выполнить самостоятельную работу или решить номера, которые указаны в работе.
4. Сдать преподавателю тетради для практических работ.
Критерии оценивания практической работы
Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 91% -100% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.
Оценка «4» ставится при безошибочном решении 81% -90% предлагаемых заданий.
Оценка «3» ставится, если выполнено 70% -80% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет.
Оценка «2» - решено мене 70% предлагаемых заданий.
Дифференциальное исчисление (производная функции)
|
|
Основные понятия. Одним из основных понятий математического анализа является понятие о производной. Производной функции у=f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что последнее стремиться к нулю. Производная обозначается символами: y', у'х,f'(х). Таким образом,
(*)
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Продифференцировать данную функцию — значит найти ее производную. Из определения производной непосредственно вытекает общий метод ее нахождения. Числовое значение производной данной функции у = f(х) при данном числовом значении аргумента х=а называется частным значением производной. Это записывается так:
Рассмотрим геометрическое и механическое значение производной. Производная у’ = f'(х) при данном значении х=а равна угловому коэффициенту k касательной, проведенной к кривой через данную на ней точку М, абсцисса которой и есть данное значение х=а. Это можно записать та: k = f'(а). Напомним что угловой коэффициент k = tg a, где a есть угол, составленный касательной и положительным направлением оси Ох. Для каждой точки касания угол наклона a имеет свое единственное значение.
Если тело движется по закону S=f(t). где S — путь в метрах, а t — время в секундах, то при изменении времени t на величину Dt влечет за собой изменение величины S на величину DS, то отношение DS к Dt (DS/ Dt) есть средняя скорость изменения пути по времени t, а именно:
Механический смысл производной: мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от функции, выражающей зависимость пройденного пути S от времени t. Если закон прямолинейного движения задан уравнением S=f(t). где S — путь в метрах, а t — время в секундах, то скорость
|
|
(при условии, что предел существует) – скорость в данный момент времени или мгновенная скорость. Итак, v=st' = f'(t), т.е. скорость точки в случае прямолинейного движения есть производная от пути по времени.
Формулы дифференцирования основных функций | ||
Производная постоянной величины равна нулю: | c'=0, где c=const. (1) | |
Производная степенной функции: | (хn)’ =nxn-1., n – действительное число (2) | |
Производная от аргумента: | х' = 1. (3) | |
Производная функции вида: у = | (4) | |
Производная функции у = 1/х: | ||
Производные тригонометрических функций: | ||
У = sinx | (sinx)'=cosx (6) | |
У = cosx | (cosx)'=-sinx (7) | |
У = tgx | (tgx)' = (8) | |
У = сtgx | (ctgx)'= (9) | |
Формула перехода от десятичных логарифмов к натуральным: | lnN= (10) где 0.4343 = lge.
| |
Формула перехода от натуральных логарифмов к десятичным:
| ||
Число называется модулем перехода от десятичных логарифмов к натуральным. (11) | ||
Производная логарифмической функции у = ln x: | (lnx)' = (12) | |
Производная показательной функции y =ax: | (ax)'=axlna. (13) | |
Частный случай y=ex: | (еx)' = ex. (14) | |
Производные обратных тригонометричеких функций: | (arcsinx)' = (15) | |
Y = arccos x | (arccosx)' = (16) | |
Y = arctgx | (arctgx)' = (17) | |
Y = arcctgx | (arcctgx)' = (18) |
Основные правила дифференцирования
Производная алгебраической суммы конечного числа функций:
(u+v-w)'=u'+v'-w', (1)
где u, v и w — различные функции от х, имеющие производные по х.
Производная произведений двух функций: (uv)'=u'v+v'u, (2)
где u и v — различные функции от х, имеющие производные по х.
Производная произведения постоянной на функцию: (cu)'=cu', где с=const. (3)
Производная частного (дроби): (4) , где с=const. (5)
где u и v — различные функции от х, имеющие производные по х, считая, что v2 ¹0 при том значении аргумента х, при котором находится производная:
Производная сложной функции: если у=f(u), где u = j( х), то
у'х=у'uu'x y'x=f(u)u'x. (6)
Рассмотрим механическое значение второй производной.
С точки зрения механики, вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения точки М в данный момент:
(4*)
т.е. ускорение есть первая производная от скорости по времени или вторая производная от пути по времени.
Рассмотрим решение примеров и задач на нахождение производной от заданных функций:
Пример 1. Дана функция . Найти , ,
Решение.
Ответ: =1, =19, =-33
Пример 2. Найти производную функции
Решение: используя формулу (uv) ' = u' v + v' u, (2)
–производная произведения двух функций, получим:
Ответ:
Иначе, перемножая двучлены, функцию у=(х+5)(х2-1) можно
записать так: у=х3+5х2-х-5; тогда y'=(x3)'+(5x2)'-x'-5', y'=3x2+10x-1
Ответ: y' = 3x2+10x-1
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Перепишем функцию в виде
По формулам (4) – производная алгебраической суммы и (2) – производная степенной функции -
продифференцируем функцию: :
Ответ.
Пример 4. Найти производную функции у=(х2+3)10.
Решение. Это сложная функция. Пусть х2+3=u, тогда у=u10. Производная находится по формуле дифференцирования сложной функции:
|
|
у'=(u10)'=10u9u'x, u'x=(x2+3)'=2x,
y'=10(x2+3)92x, y'=20x(x2+3)9.
Ответ: y'=20x(x2+3)9.
Пример 5. Продифференцировать функцию y=sin8x.
Решение. Пусть 8х=u, тогда у=sinu.
y'=(sinu)'=cosu*u'x; u'x=(8x)'=8
y'=cosu*8 или y'=8cos8x Ответ: у'=8cos 8x.
Пример 6. Найти производную функции
Решение. Пусть , тогда и
,
Ответ:
Пример 7. Продифференцировать функцию у= ln sin x
Решение. sin x = u, y=ln u, тогда
Ответ: .
Пример 8. Дана функция .Найти .
Решение. Найдем производную данной функции:
f'(x) = 2x +x+1 . (x2+x+1)'.ln 2
f'(x) = 2x +x+1.(2x+1).ln 2
f'(x) = 23.(2.1+1).ln 2 f'(1) = 24ln 2
Ответ :. f'(1) = 24ln 2
Пример 9. Найти производную функции у =
Решение: В данном примере основание и показатель степени
зависят от х. Логарифмируя, получим lny = x2 lnx.
Продифференцируем обе части последнего равенства по х.
Так как у’ является функцией от х, то lny есть сложная функция х
и (lny)’ = y'/y Следовательно,
Ответ:
Задача 1. Точка движется прямолинейно по закону s = 2t3 + t2 + 1, где s — путь в метрах, t — время в секундах. Найти величину скорости в момент t = 3c и величину ускорения в момент t = 4c.
Решение. Скорость равна
v = s't = (2t3 + t2 + 1)' = 6t2 + 2t
vt=3 = 6.32 + 2.3 = 60 (м/с)
Ускорение равно
a = v't = (6t2 + 2t)' = 12t + 2
at=4 = 12*.4 + 2 = 50(м/c2)
Ответ :.vt=3 = 60м/с, at=4 = 50 м/с2.
Задача 2. Найти уравнение касательной к параболе у = х2 - 4х + 2 в точке, абсцисса которой равна 3.
Решение. Найдем ординату точки касания:
ух=3 = 32 – 4*3 + 2 = -1
Итак, точка касания М (3; - 1) найдена. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся уравнением пучка прямых у - у1= k (x- x1).
В нашем примере х1 = 3, у1 = -1, значит у + 1 = k(x - 3).
Угловой коэффициент
k = y'x=3 = (x2 - 4x + 2)'x=3 - (2x - 4)x=3 = 2.
Поэтому искомое уравнение касательной примет вид:
у + 1 = 2(х - 3) или у = 2х – 7 в общем виде 2х - у - 7 = 0
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение производной?
2. Что называется касательной прямой к линии в данной ее точке?
3. В чем заключается геометрическое значение производной от данной функции y=f(x) в системе декартовых координат?
4. В чем заключается механическое значение производной
5. Сформулируйте теоремы о производной алгебраической суммы, произведения и частного.
|
|
6. Сформулируйте теорему о производной функции от функции (производная сложной функции).
7. Напишите формулы для нахождения производной логарифмической и показательной функций.
Задания для самостоятельной работы:
Найдите производные следующих функций:
1) f(x) = x3 (x2 – 1)2; 2) f(x) = x4 (x2 – 1)5;
3) y = 8x; 4) y = sin (2x – 5);
5) у =