Площадь оснований призмы

Тема: Объем призмы

http://ege-study.ru/materialy-ege/formuly-obema/

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача

Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб:-)

Иногда в задаче надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.

Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.

Правильная треугольная призма — призма, в основаниях которой лежат два правильных треугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.

Обозначения

· ABCA1B1C1— правильная треугольная призма

· a— длина стороны основания призмы

· hh— длина бокового ребра призмы

· Sосн.— площадь основания призмы

· Vпризмы — объем призмы

Площадь оснований призмы

В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной a. По свойствам правильного треугольника

Таким образом, получается, что SABC=SA1B1C1=

Объем призмы

Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро AA1AA1. В основании правильной треугольной призмы находится правильный треугольник, площадь которого нам известна. Получаем

V призмы=Sосн.*AA1

Находим BD

BD является высотой правильного треугольника со стороной a, лежащего в основании призмы.

По свойствам правильного треугольника: Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника равны:

Аналогичным образом, приходим к заключению, что длины всех остальных диагоналей оснований призмы равны

В треугольнике CBC1CBC1:

· CB=a

· CC1=h

· ∠BCC1=90 — потому что прямая CC1 перпендикулярна плоскости ABC

Таким образом, получается, что треугольник CBC1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника

Аналогичным образом, приходим к заключению, что длины всех остальных диагоналей боковых граней призмы равны

http://bankege.ru/ЕГЭ_по_математике/В11_стереометрия

Задача

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 8.

Задание

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1, C1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB=10, AD=9, AA1=9.

Задание

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, A1, C1, D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB=6, AD=6, AA1=9.

Домашняя работа

Вариант 1

1. Объем деревянного бруска, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равен 18 см . Брусок распилили на две равные части. Вычислите объем получившейся части.

2. Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны 2 м, 4 м, 8 м. Вычислите объем призмы ABDA1B1D1.

3. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 4 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом . Найдите объем параллелепипеда.

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ=6 см, точка О – точка пересечения диагоналей грани AA1B1В, ОС=10 см. Градусная мера угла наклона отрезка ОС к плоскости АВС равна . Вычислите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол с плоскостью боковой грани и угол с плоскостью основания. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, если его высота равна .