Практическое занятие 9. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Поиск частного решения по правой части специального вида

Обратите внимание на раздаточный материал, прикрепленный к занятию.

Этап 1. Определим, а) какие из выражений относятся к правой части специального вида ? Или уточним б) – являются суммой выражений такого вида?

!!! Постарайтесь самостоятельно выполнить эти задания, потом сверьте с ответом ниже.

1.	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

Отмечаем «+» сначала те выражения, которые подходят для а).

А) «+»: 1, 4, 6, 8.

Б) к предыдущим добавятся: 2, 3, 7.

Действительно, 2:  - сумма частей специального вида.

3:

7:

Этап 2. Вспомним алгоритм нахождения частного решений НЛДУ по правой части специального вида:

· параметры взять за r число совпадений μ и λ;

· параметры n, m – степени многочленов P_n(x)? Q_m(x) и выбрать максимум из них: k =max{ n, m };

· Составляем частное решение по правилу:

, где многочлены становятся многочленами степени k общего вида с неопределенными коэффициентами.

!!!! Обратите внимание, что у многочленом общего вида в составе присутствуют все степени от нулевой до k -той.

Например:       

3 Этап. Решение задач. Разберитесь с решением предложенных задач и законспектируйте различные случаи подбора частного решения (без совпадений μ и λ, с совпадением, для композиции выражений специального вида в правой части).

 

Задача 1. Решить задачу Коши. , .

Решение.

Найдем  методом Эйлера. Для этого составим характеристическое уравнение по левой части ДУ.

Частное решение НЛДУ .  подберем по , .

Подставим  в НЛДУ с правой частью

Сравниваем коэффициенты левой и правой части при одинаковых степенях.

Итак, .

Аналогично найдем  по , .

Приравняем коэффициенты при и левой и правой частей уравнения .

Частное решение исходного НЛДУ имеет вид: .

Тогда .

Решим задачу Коши:

В два последних равенства подставим начальные условия: .

Решим систему относительно  и .

Получим , .

Решение задачи Коши исходного ДУ с заданными начальными условиями имеет вид .

Ответ:   .

Задача 2а). Найти общее решение уравнения .

Решение:

Характеристическое уравнение λ ² - 5 λ + 6 = 0, его корни λ ₁ = 2, λ ₂ = 3.

Тогда y _oo = C ₁ e ^{2 x} + C ₃ e ^{3 x}. Степень многочлена n = 3, число 0 не является корнем характеристического уравнения (r = 0), поэтому y _чн(x) ищем в виде многочлена третьей степени с неопределёнными коэффициентами:

y _чн(x)= x^rR_m (x) = Ax ³ + Bx ² + Dx + E.

                                      ;

подстановка этих выражений в НЛДУ даст

[6 Ax + 2 B ] – 5[3 Ax ² + 2 Bx + D ] + 6[ Ax ³ + Bx ² + Dx + E ] = x ³ – 2 x.

Приводим подобные члены:

6 Ax ³ + [-15 A + 6 B ] x ² + [6 A – 10 B + 6 D ] x + [2 B – 5 D +6 E ] = x ³ – 2 x.

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

 

x 3 x 2 x 1

6 A = 1; - 15 A + 6 B =0; 6 A – 10 B + 6 D = -2; 2 B – 5 D + 6 E = 0;

A = 1/6; B = 15 A /6 = 5/12; D = 5 B /3 – A – 1/3 = (25 – 6 – 12)/36 = 7/36; E = 5 D /6 – B /3 = 35/216 – 5/36 =(35 – 30)/216 = 5/216.

 

Итак,

       Задача 2б). .

λ ² - 5 λ = 0, λ ₁ = 0, λ ₂ = 5, тогда   y _oo = C ₁ + C ₃ e ^{5 x}.

Степень многочлена n = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому y _чн(x) ищем в виде 

y _чн(x) = x (Ax ³ + Bx ² + Dx + E) = Ax ⁴ + Bx ³ + Dx ² + Ex.

Тогда  

[12 Ax ² + 6 Bx + 2 D ] – 5[4 Ax ³ + 3 Bx ² + 2 Dx + E ] = x ³ - 2 xE,

x 3 x 2 x 1

- 20 A = 1; 12 A - 15 B =0; 6 B - 10 D = -2; 2 D - 5 E = 0;

A = - 1/20; B = 4 A /5 = - 1/25; D = 3 B /5 + 2/10 = - 3/125 + 2/10 = 44/250 = 22/125; E = 2 D /5 = 44/625.

Задача 2в). .

λ ⁴ - 5 λ ² = 0,        λ ² (λ ² - 5) = 0,       λ _1,2 = 0, ,

.

Степень многочлена n = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 2,

поэтому y _чн(x) ищем в виде y _чн(x) = x ²(Ax ³ + Bx ² + Dx + E) = Ax ⁵ + Bx ⁴ + Dx ³ + Ex ².

Тогда

x 3 x 2 x 1

- 100 A = 1;  60 B =0; 120 A - 30 D = -2; 24 B - 10 E = 0;

A = - 1/100; B = 0; D = 4 A /5 + 2/30 = - 4/100 + 2/30 = 8/300 = 2/75; E = 24 B /10 = 0.

 

Задача 3а). Найти общее решение уравнения .

Решение:

Характеристическое уравнение   λ ² - 4 λ + 4 = 0, (λ - 2)² = 0, его корни λ _1,2 = 2,

у _оо = С ₁ е ^{2 x} + С ₂ хе ^{2 x}.

Степень многочлена n = 3, число  является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому y _чн(x) ищем в виде

y _чн(x) = x ² e ^{2 x} [ Ax ³ + Bx ² + Dx + E ] = e ^{2 x} (Ax ⁵ + Bx ⁴ + Dx ³ + Ex ²).

Тогда

подстановка этих выражений в уравнение даст

После приведения подобных членов и сокращения на e ^{2 x}  сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x 3 x 2 x 1

20 A = 1;  12 B =0; 6 D = -2; 2 E = 0;

A = 1/20; B = 0; D = - 1/3; E = 0.

           

Задача 3б).   .

λ ² - 5 λ + 6 = 0, λ ₁ = 2, λ ₂ = 3, y _oo = C ₁ e ^{2 x} + C ₃ e ^{3 x}.

n = 3, число  является корнем характеристического уравнения кратности r = 1,

поэтому y _чн(x) ищем в виде

y _чн(x) = x ¹ e ^{2 x} (Ax ³ + Bx ² + Dx + E) = e ^{2 x} (Ax ⁴ + Bx ³ + Dx ² + Ex).

Дальнейшие выкладки проводятся также, как и в предыдущих примерах.

       Задача 3в). .

, .

n = 3, число  не является корнем характеристического уравнения,

поэтому y _чн(x) = e ^{2 x} (Ax ³ + Bx ² + Dx + E).

Дальнейшие выкладки опускаем.

Пример на применение общего правила:

       Задача 3г). .

, y _oo = e ^{3 x} (C ₁ cos 2 x + C ₂ sin 2 x).

Правая часть состоит из двух слагаемых, притом структура этих слагаемых различна:

- второе содержит функцию e ^{3 x},

- первое - нет (более точно, первое содержит функцию  e ^{0 x} = 1), поэтому мы должны искать два частных решения (т.е. воспользоваться теоремой о суперпозиции решений).

Ищем первое частное решение, удовлетворяющее уравнению

.

Запишем правую часть как f (x) = (75 x ² – 86 x + 18) sin 2 x = e ^{0 x} [0 cos 2 x + (75 x ² – 86 x + 18) sin 2 x ].

Здесь  

число μ не является корнем характеристического уравнения (r = 0), k = max(n, m) = 2 (это означает, что в качестве коэффициентов и при sin 2 x, и при cos 2 x мы должны взять многочлены второй степени, несмотря на то, что cos 2 x в функции f (x) отсутствует), поэтому

  y _чн,1(x) = е ^{0 x} [(Ax ² + Bx + D) cos 2 x + (Ex ² + Fx + G) sin 2 x ] = (Ax ² + Bx + D) cos 2 x + (Ex ² + Fx + G) sin 2 x.

Находим производные этой функции и подставляем в уравнение:

(2 A +8 Ex +4 F -4 Ax ²-4 Bx -4 D)cos2 x +(2 E -8 Ax -4 B -4 Ex ²-4 Fx -4 G)sin2 x -

-6[(2 Ax + B +2 Ex ²+2 Fx +2 G)cos2 x +[(2 Ex + F -2 Ax ²-2 Bx -2 D)sin2 x ]+13[(Ax ² + Bx + D) cos 2 x + (Ex ² + Fx + G) sin 2 x ]=

= (75 x ² -86 x + 18) sin 2 x

Сравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях и одинаковых степенях x:

x 2cos2 x x cos2 x cos2 x x 2sin2 x x sin2 x sin2 x

-4 A – 12 E + 13 A = 0; 9 A =12 E; 3 A =4 E;  8 E – 4 B – 12 A – 12 F + 13 B = 0; 2 A + 4 F – 4 D – 6 B – 12 G + 13 D = 0; -4 E + 12 A + 13 E =75;9 E +12 A =75; 3 E +4 A =25;  -8 A - 4 F – 12 E + 12 B + 13 F = 86; 2 E - 4 B - 4 G - 6 F + 12 D + 13 G =18;

Из первого и четвёртого уравнений находим A = 4/3 E, 3 E + 16/3 E = 25, 25/3 E =25, E = 3, A = 4. Перепишем второе и четвёртое уравнения с найденными значениями  и : 9 B – 12 F = 12 A – 8 E = 24, 3 B – 4 F = 8, 9 F + 12 B = -86 + 8 A + 12 F = -86 + 32 + 36, 3 F + 4 B = -6,

 

Решая систему  находим 9 B + 16 B = 24 – 24 = 0, B = 0, F = -2.

Третье и шестое уравнения теперь примут вид

, откуда D = G = 0.

Окончательно у _чн,1(x) = 4 x ² cos 2 x + (3 x ² -2 x) sin 2 x.

Ищем второе частное решение, удовлетворяющее уравнению

.

Запишем правую часть как f (x) = e ^{3 x} [16 x cos 2 x + 0 sin 2 x ].

Здесь  число μ является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, k = max(n, m) = 1 (т.е. в качестве коэффициентов и при sin 2 x, и при cos 2 x мы должны взять многочлены первой степени), поэтому

y _чн,2(x) = е ^{3 x} [(Hx + I) cos 2 x + (Jx + K) sin 2 x ] x ^r = [(Hx ² + Ix) cos 2 x + (Jx ² + Kx) sin 2 x ].

Находим производные этой функции

 подставляем их в уравнение:

Сравниваем коэффициенты:

Итак,

Окончательный ответ:

 

Вспомним еще 1 случай, если правая часть не является выражением специального вида. Тогда применяем метод вариации произвольной постояной.

 

    Задача 4. Решить

Решение. .

Найдем  методом Эйлера. Для этого составим характеристическое уравнение по левой части ДУ.

Найдем  методом вариации произвольных постоянных, т.е. .

.

Систему относительно  и  удобно решать методом Крамера: ,

;

поэтому  и ;

;

 и

Окончательно получаем

или .

 или

(здесь слагаемое ,  – произвольная постоянная, "поглощает" слагаемое ). Видим, что  можно было угадать (подобрать) с существенно меньшими выкладками.

Домашнее задание:

Выполнить задания для самоконтроля (тест и тренажер).

2. Выполните любые из предложенных ниже заданий. Сравните свой ответ с приведенными ниже ответами.

Найти общее решение уравнения, используя метод подбора частного решения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

Ответы:

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

 

3. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

1) ;

2) .

 

Ответы:

1) ;

2) .

 

4. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным краевым условиям:

1) ;

2) .

Ответы:

1) ;

2) .

 

 

Используемые источники

 

1. Кузьмина С.С. Дифференциальные уравнения высших порядков. Курган, 2004, 56с.

2. УМК Алгебра, геометрия и теория дифференциальных уравнений

Авторы: Белоусова В.И., Ермакова Г.М. 11.04.2012 Метаданные ресурса №10838

https://study.urfu.ru/Aid/ViewMeta/10838

3. Гребенщиков, Б. Г., Гредасова, Н. В., Ложников, А. Б., Матвийчук, О. Г., Сесекин, А. Н., Шориков, А. Ф. (Ред.), & Сесекин, А. Н. (Ред.) (2018). ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ И ОПТИМАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ: учебное пособие для вузов. (1-е ред.) (Сер. 11 Университеты России). Москва: Общество с ограниченной ответственностью "Издательство ЮРАЙТ".