Тригонометрические уравнения - это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции

Практическое занятие № 84 «Решение уравнений»

Решение квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида

a, b и c - числа, х - переменная

Для нахождения корней квадратного уравнения необходимо найти дискриминант по формуле

1) Если D>0, то уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам

2) Если D=0, то уравнение имеет один корень, который находится по формуле

3) Если D<0, то уравнение не имеет корней.

Решение показательных и логарифмических уравнений.

Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: а^х = а^b, где а> 0, а 1, х - неизвестное.

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.

1. а⁰ = 1, а¹= а.

2. а^m/n= , где m и n– натуральные числа.

3. a^-n = 1/ аⁿ

4. aⁿ × a^m = a^n+m

5. aⁿ/a^m = a^n-m

6. (aⁿ)^m = a^n-m

7. (ab)ⁿ = aⁿ×bⁿ

8. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.

При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = a^x, a > 0, a 1:

1. a^x>0, при всех a>0 и x R;

2. x₁ =x₂.

Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a 1, b > 0.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение

logax=b, где основание a>0,a≠1,

а выражение, стоящее под знаком логарифма, x>0.

Для любого действительного b это уравнение имеет единственное решение: x=ab.

Пример:

решить уравнение: log₃(x²+72) =4.

Решение

ОДЗ: x²+72>0⇒x∈R.

По определению логарифма получаем

х²+72=34; x²+72=81; x²+72−81=0; x²−9=0; (x−3)(x+3)=0⇒x1=3, x2=−3.

Ответ: x1=3, x2=−3.

 Решите уравнение:

Иррациолнальные уравнения

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Например:

1) √​2 x +1​​​=3

Обе части уравнения возводим в квадрат и упрощаем:

2x+1=9

2x=8

x=4

2) √​12− x ​​​= x

Обе части уравнения возводим в квадрат

12-х=х²

х²+х-12=0

х_{1=-4 п/к,} х₂₌₃

Ответ: 3

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения - это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

 Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям

Схема решения

Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

Пример.

2 cos (3x – π/4) = -√2.

Решение.

cos(3x – π/4) = -√2/2.

3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Выполните: а) x²+2x+1=0; б) 3^4x-5 = 3^x+4 ; в) log₅(x²+9) =2; г) √3x+1=4;

д) 2 sin (2x – π/4) = √2.