Некоторые теоремы и формулы

Практическое занятие 7.

Вероятность противоположного события . Следствие .

Вероятность суммы двух событий P(A + B)=P(A) + P(B)-P(AB).

Следствие: если события несовместны, то P(A + B)=P(A) + P(B), формула справедлива для любого конечного числа несовместных событий.

Условная вероятность события В при условии, что событие А произошло равна .

Пример 10. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (который он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.

Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента «плохой», а В – «хороший». Поскольку после наступления события А один из «плохих» уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность, предполагая, что появление любого билета равновозможно и они обратно не возвращаются, равна .

Вероятность произведения .

Следствие: формула обобщается на любое конечное число сомножителей (для трёх она имеет вид
).

Пример 11. По условиям примера 10 найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.

Решение. Пусть события А и В заключаются в том, что соответственно первый и второй билеты «хорошие». Тогда - появление «плохого» билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие А, или одновременно  и В. То есть искомое событие С - успешная сдача экзамена выражается следующим образом: . Отсюда

Здесь мы воспользовались несовместностью А и , а, следовательно, несовместностью А и , формулами вероятностей суммы, произведения и классическим определением вероятности.

Эту задачу можно решить и проще, если воспользоваться вероятностью противоположного события

Независимость событий. Два события называются независимыми, если P(AB)=P(A) · P(B). Следствие:  и - наступление одного события не изменяет вероятности появления другого, то есть условная вероятность равна безусловной. На практике пользуются правилом, согласно которому из физической независимости событий следует их независимость в теоретико-вероятностном смысле.

Пример 12. Абонент забыл последние три цифры нужного ему телефонного номера, но помнит, что все они нечётные. Найти вероятность того, что ему удастся дозвониться с первого раза.

Решение. Пусть события А, В и С заключаются в том, что соответственно первая, вторая и третья забытые цифры будут набраны верно, тогда вероятность успеха - события D = АВС (должны произойти и А и В и С) будет равна

Здесь мы воспользовались независимостью событий, классическим определением и тем, что из пяти нечётных цифр подходит в каждом случае только одна.

Задачи на дом. Гмурман № 50, 51, 55,56, 58, 65, 67, 69, 47.