РАЗДЕЛ 8. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА
ТЕМА: Шар и сфера
Цель занятия: узнать, что такое шар и сфера, их элементы, форма их сечений, взаимное расположение плоскости и сферы, какая сфера называется касательной к сфере; научиться искать элементы сферы и шара, вычислять площадь сферы; научиться решать задачи, связанные с шаром и сферой
Порядок выполнения работы:
1) Изучить материал теоретический материал, составить конспект в тетради;
2) Выполнить тренировочные задания по материалу лекции (решить в тетради в режиме реального времени, и выслать фотографии или документ преподавателю на личную почту);
3) Выполнить контрольные задания (решить в тетради в режиме реального времени, и выслать фотографии или документ преподавателю на личную почту);
4) Выполнить домашнее задание (материалы выполнения домашнего задания высылаются не позднее следующего урока и высылаются преподавателю на личную почту).
Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996
Теоретический материал для самостоятельного изучения
|
|
1. Основные теоретические факты
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.
По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.
|
Определение
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.
Определение
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
Сферу можно получить ещё одним способом - вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.
Уравнение сферы
Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.
|
|
Пусть сфера имеет центром точку С (x0; y0; z0) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:
МС=
Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС2=R2, то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:
.
Это выражение называют уравнением сферырадиуса R и центром С(x0; y0; z0).
Взаимное расположение сферы и плоскости
Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.
1. Пусть d R. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.
2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.
3. Пусть d R. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Рассмотрим случай касания более подробно.
Определение
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Теорема (свойство касательной плоскости).
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Теорема (признак касательной плоскости):
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Основные формулы
Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:
Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:
S=4πR2 – площадь сферы.
S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.
Материалы видео-лекции, рекомендованные к просмотру: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4034/main/22795/
Тренировочные задания (время выполнения - 15 мин)
Задание № 1. Для каждой сферы с заданными радиусами найдите площади. Впишите правильные ответы в соответствующие пропуски.
1) R=2; 2) ; 3) 4)
Задание № 2. Дан радиус сферы R= 30 см. Определи площадь поверхности сферы.
Задание № 3. Дана площадь поверхности сферы 100πсм2. Определи диаметр сферы.
Задание № 4. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 см.
Задание № 5. Отрезок FB — диаметр сферы. Определи радиус сферы R и напиши уравнение сферы, если даны координаты точек F(4;0;4) и B(0;4;0).
Контрольные задания (время выполнения - 15 мин)
Задание № 1. Найдите значения A, B, C, D и запишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке T, если T (–3; 5; –1), R =4.
(х + A)2+(y + B)2+(z + C)2= D
Задание № 2. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Задание № 3. Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?