Определение максимальной нагрузки

Проектный расчет.

При проектном расчете определяются геометрические размеры сечений стержней. Геометрические размеры, входя в формулы осевых моментов, которые являются геометрическими характеристиками сечений. Ранее вы должны были законспектировать тему геометрические характеристики. Значит, определяем осевые моменты.

Примеры выполнения расчета.

1. Определить из расчета на устойчивость диаметр стойки круглого поперечного сечения нагруженного силой 𝐹 = 50 кН. Требуемый коэффициент запаса устойчивости [ ] = 4,5. Длина стержня 𝑙 = 4 м. Модуль упругости материала 𝐸 = 2 · МПа.

Решение:

Для данного способа закрепления 𝜇 = 0,7 (один конец стержня жесткая заделка, другой шарнирно оперт).

Зная значение сжимающей силы и требуемого коэффициента запаса устойчивости, определяем критическую силу (силу, до значения которой, еще будет сохраняться устойчивое равновесие).

𝐹 откуда определяем = 𝐹 · [ ] = 50 · 4,5 = 225 кН.

Выразим критическую силу по формуле Эйлера

где – наименьший момент инерции сечения, для круглого сечения (смотрим таблицу из справочных материалов).

Из формулы критической силы выражаем

= = = 885431

Из таблицы выбираем значение осевого момента инерции для круглого сечения

= = .

Из этой формулы определяем искомый диаметр

𝑑 = = = 65 мм.

Ответ: 𝑑 = 65 мм.

2. Подобрать сечение двутаврового стержня, если длина стержня 𝑙 = 4 м, сжимающая сила 𝐹 = 500 кН. Требуемый коэффициент запаса устойчивости [ ] = 3,5. Модуль упругости материала 𝐸 = 2 · МПа.

Порядок расчета тот же что и в предыдущей задаче.

Для данного способа закрепления 𝜇 = 0,7 (один конец стержня жесткая заделка, другой шарнирно оперт).

𝐹 откуда определяем = 𝐹 · [ ] = 500 · 4,5 = 2 250 кН.

Выразим критическую силу по формуле Эйлера

где – наименьший момент инерции сечения.

Из формулы критической силы выражаем

= = = 8945,6 · .

Из таблицы стандартных профилей выбираем большее значение осевого момента инерции для двутавра. Так как в таблице стандартных профилей осевой момент задается в , нужно перевести в . При этом учитываем, что 1 это 10000 .

= 894,6 .

Из таблицы стандартных профилей этому значению соответствует балка № 50 с = 1725 .

Ответ: Двутавр № 50

Определение максимальной нагрузки

В этом случае известны размеры стержня, его материал, требуется определить допускаемую нагрузку.

Примеры выполнения расчета.

1. Определить допускаемую нагрузку [𝐹] для стойки при [ ] 4. Материал сталь Ст3. = 200 МПа, 𝐸 = 2 · МПа, 𝑙 = 1,2 м, 𝑎 = 24 мм.

Решение:

Порядок расчета есть в учебнике Олофинская В.П. Техническая механика.

1) Определяем свойства материала (предельную гибкость)

= = = 99,3

2) Определяем геометрические характеристики сечения (гибкость стойки).

𝜆 =

Что бы определить гибкость сечения нужно определить

– осевой момент инерции. Формулу для его определения выбираем из таблицы осевых моментов.

= = = 27648

𝐴 – площадь сечения

𝐴 = = = 576

= = = 6,93 мм.

𝜇 – коэффициент приведенной длины, для данного вида закрепления стержня 𝜇 = 1.

𝜆 = = = 173.

Таким образом, 𝜆 и для определения критической силы можно применять формулу Эйлер.

3) Определяем значение критической силы по формуле Эйлера

= = = 37860 Н = 37,9 кН.

4) Определяем допускаемое значение нагрузки

[𝐹] = = = 9,5 кН.

Ответ: [𝐹] = 9,5 кН.

2. Для заданной стойки двутаврового поперечного сечения определить допускаемое значение сжимающей силы [𝐹]. Материал сталь Ст3. = 200 МПа, 𝐸 = 2 · МПа, коэффициент запаса устойчивости = 2. Выяснить, как изменится допускаемая нагрузка, если длину стойки уменьшить вдвое. Форма поперечного сечения – двутавр № 24а.

Решение.

Порядок расчета есть в учебнике Олафинская В.П. Техническая механика.

1) Определяем свойства материала (предельную гибкость)

= = = 99,3

2) Определяем геометрические характеристики сечения (гибкость стойки).

𝜆 =

– минимальный радиус сечения определяется по номеру профиля (№24а) из таблицы стандартных профилей (самая последняя колонка в таблице). Для данного профиля = 2,63 см.

𝜇 – коэффициент приведенной длины, для данного вида закрепления стержня 𝜇 = 0,5.

𝜆 = = = 137.

= 2,63 см перевели в мм.

Таким образом, 𝜆 и для определения критической силы можно применять формулу Эйлер.

3) Определяем значение критической силы по формуле Эйлера

Из таблицы стандартных профилей по номеру профиля выбираем минимальный осевой момент. Для данного профиля это будет , таким образом = 260 см⁴. Значение переводим в мм⁴.

= = = 395601 Н = 395,6 кН.

4) Определяем допускаемое значение нагрузки

[𝐹] = = = 198 кН.

5) Определяем гибкость стержня для уменьшенной в два раза длины стержня

𝜆 = = = 68,5

Таким образом, 𝜆 и для определения критической силы нельзя применять формулу Эйлер. В этом случае допускаемую нагрузку определяем пользуясь эмпирическими формулами и данными, приведенными в таблице учебников (см. учебник Олафинской В.П. стр.293). Привожу таблицу здесь же

Таблица значение коэффициентов 𝑎,𝑏 для некоторых материалов

материал	𝐸, МПа	, МПа	𝑎, МПа	𝑏, МПа
Сталь Ст.2	2	200	250	0,668	60	105
Сталь Ст.3	2	200	310	1,14	60	100
Сталь 20, Ст 4	2	200	343	1,42	60	95
Сталь 45	2	260	589	3,82	60	85
Дюралюминий Д16Т	0,75	200	400	3,33	30	60

6) По формуле Ясинского определяем критическое напряжение, взяв данные для Ст.3 из приведенной таблицы

= 𝑎 – 𝑏𝜆 = 310 – 1,14 · 68,5 = 231,9 МПа.

7) Находим критическую силу из формулы =

= · 𝐴 = 231,9 · 3750 = 869625 Н.

𝐴 – площадь сечения выбирается их таблицы стандартных профилей для номера профиля. Для балки 24а, 𝐴 = 37,5 . Площадь тоже переводим в .

8) Определяем допускаемую нагрузку

[𝐹] = = = 434813 Н = 434,8 кН.

Ответ: [𝐹] = 198 кН; [𝐹] = 434,8 кН.

Проверочный расчет

Проверяется выполнение условия устойчивости данной конструкции. Определяется фактический (расчетный) коэффициент запаса устойчивости и сравнивается с допускаемым. Значение требуемого коэффициента запаса устойчивости зависит в основном от назначения рассчитываемого стержня и его материала. Так, для стальных стержней принимают: в строительных конструкциях [ 𝑠_у ] = 1,7÷2,0, для элементов машиностроительных конструкций, например для ходовых винтов станков, [ 𝑠_у ] = 4,0÷5,0. Для чугунных стержней – в среднем [ 𝑠_у ] = 5,0; для деревянных – в среднем [ 𝑠_у ] = 3,0.

1. Проверить на устойчивость сжатую стойку круглого сечения из хромомолибденовой стали с = 540 МПа и 𝐸 = 2,15 · МПа. Требуемый коэффициент запаса устойчивости [ 𝑠_у ] = 3,5. Сжимающая сила 𝐹 = 150 кН, длина стержня 𝑙 = 2,5 м, диаметр стержня 𝑑 =76 мм.

Решение.

1) Определяем свойства материала (предельную гибкость)

= = = 62,7

2) Определяем геометрические характеристики сечения (гибкость стойки).

𝜆 =

Что бы определить гибкость сечения нужно определить

– осевой момент инерции. Формулу для его определения выбираем из таблицы осевых моментов.

= = = = = 1636831,76 = 163,68 ·

𝐴 – площадь сечения

𝐴 = = = 4534,16

= = = 19 мм.

𝜇 – коэффициент приведенной длины, для данного вида закрепления стержня 𝜇 = 0,7.

𝜆 = = = 92

Таким образом, 𝜆 и для определения критической силы можно применять формулу Эйлер. Если 𝜆 , то в этом случае определяем по формуле Ясинского, а затем по формуле = · 𝐴, определяется критическая сила.