Опорный конспект можно использовать в виде конспекта лекции

Лекция

«Свободные колебания в колебательном контуре. Период свободных электрических колебаний»

Цель: выяснить механизм возникновения свободных электрических колебаний и энергетических преобразований в колебательном контуре.

Задачи: уметь объяснять, что такое простейший колебательный контур, какие преобразования энергии, происходящие в нем; как рассчитать период свободных колебаний в контуре.

 

План

1. Простейший колебательный контур.

2. Преобразование энергии в колебательном контуре.

3. Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями.

4. Гармонические колебания.

5. Амплитуда, период и частота колебаний.

https://www.youtube.com/watch?v=1YTISXwB2fc учебное видео

1. Простейшая цепь, в которой могут происходить свободные электрические колебания, состоит из конденсатора и катушки, присоединенной к его обкладкам. Активное сопротивление проводников, из которого изготовлены проводники колебательного контура, должно быть малым.

Электрическим колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкость С и катушки индуктивностью L.

Чтобы получить в контуре электромагнитные колебания, достаточно зарядить конденсатор и замкнуть его на катушку. При этом конденсатор получит энергию , где q – заряд конденсатора, а С – его электроемкость.

Во время разряжения конденсатора в цепи возникает электрический ток, сила которого не сразу достигает максимального значения, а увеличивается постепенно. Это обусловлено явлением самоиндукции.

По мере разряжения конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля тока, которая определяется формулой , где L – индуктивность катушки, і – сила переменного тока.

Полная энергия электромагнитного поля контура, равна сумме энергии магнитного и электрического поля:

.

В момент, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля будет равна нулю. Энергия же магнитного поля тока, согласно закону сохранения энергии, будет максимальной. В этот момент сила тока также достигнет максимального значения .

Не смотря на то, что до этого момента разность потенциалов на концах катушки равна нулю, электрический ток не может исчезнуть сразу. Этому препятствует явление самоиндукции. Как только сила тока и созданное им магнитное поле начнут уменьшаться, возникнет вихревое электрическое поле, которое будет поддерживать наличие тока.

В результате конденсатор будет перезаряжаться до тех пор, пока сила тока, постепенно уменьшаясь, не станет равной нулю. Энергия магнитного поля в этот момент также будет равняться нулю. а энергия электрического поля конденсатора снова станет максимальной.

После этого конденсатор снова начнет перезаряжаться, и система вернется в исходное положение. Если бы энергия не тратилась, то этот процесс продолжался бы как угодно долго. Колебания были бы незатухающими.

2. Заряжение конденсатора аналогично отклонению пружинного маятника от положения равновесия, а энергия электрического поля заряженного конденсатора – потенциальной энергии деформированной пружины.

Если конденсатор заряжен до напряжения , то его заряд будет равен . При этом энергия электрического поля максимальна и равна . Это состояние эквивалентно состоянию пружинного маятника, когда пружину растянули на x и придали механической колебательной системе энергию .

Когда конденсатор полностью разряжается, энергия магнитного поля станет максимальной и будет равна . Это состояние эквивалентно состоянию пружинного маятника, когда грузик на пружине в положении равновесия имеет максимальную скорость. Кинетическая энергия маятника при этом равна .

В случае уменьшения силы тока до нуля конденсатор окажется перезаряженным. Если потерь энергии в контуре нет, напряжение и заряд конденсатора будут равны начальным значениям. Во время колебания грузика на пружине этому моменту соответствует его остановка в крайнем верхнем положении, когда потенциальная энергия максимальна.

Потом конденсатор снова начнет разряжаться, в контуре возникнет ток обратного направления, энергия электрического поля заряженного конденсатора будет уменьшаться, а магнитного – возрастать. В определенный момент времени конденсатор разрядится, сила тока и энергия магнитного поля достигнут максимальных значений. Это соответствует моменту прохождения грузом положения равновесия.

Необходимо отметить еще раз: максимальная энергия, накопленная в конденсаторе, в процессе колебаний превращается в энергию магнитного поля катушки. Процесс преобразования одного вида энергии в другой будет продолжаться до тех пор, пока в цепи будут происходить колебания.

3. Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями, например, с колебаниями тела на пружине. Сходство присуще не природе самих величин, которые периодически изменяются, а процессам периодической смены разных величин.

 

Механические величины	Электрические величины
Координата x	Электрический заряд q
Скорость	Сила тока і
Масса грузика m	Индуктивность L
Жесткость пружины k	Величина, обратная емкости, 1/С
Потенциальная энергия	Энергия электрического поля
Кинетическая энергия	Энергия магнитного поля

 

4. Тело на пружине или маятник осуществляют гармонические колебания, которые описывают уравнением: . Очевидно, заряд изменяется со временем по тем же законам, сто и уравнение, описывающее колебания тела, скрепленного с пружиной, или математического маятника: .

Таким образом, электрический заряд во время свободных колебаний изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

5. Важной характеристикой любого колебательного процесса является амплитуда.

Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего значения колеблемой величины.

Это может быть модуль электрического заряда или какой-либо другой величины, которая периодически изменяется. Амплитуда может иметь разные значения в зависимости от того, какой заряд был придан конденсатору в начальный момент времени. Иначе говоря, амплитуда определяется начальными условиями.

Во время колебаний значение заряда конденсатора периодически повторяется. Минимальный промежуток времени Т, через который процесс повторяется полностью, называется периодом колебаний.

Период свободных колебаний тела на пружине мы определяли как . Воспользовавшись аналогией между механическими и электромагнитными колебаниями (), получим формулу для периода свободных колебаний в контуре:

Эта формула называется формулой Томсона – в честь английского физика, который впервые ее вывел. Увеличение периода колебаний с возрастанием L и С наглядно можно объяснить двумя причинами: 1). с возрастанием индуктивности уменьшается скорость тока; 2) увеличение емкости приводит к возрастанию времени для перезарядки конденсатора.

Зная период, можно определить частоту колебаний, то есть количество колебаний за единицу времени:

.

Циклическая частота (количество колебаний за 2π секунд) определяется как:

Вопросы для самоконтроля ответить устно:

1. Что такое колебания?

2. Что такое свободные и вынужденные колебания?

3. Будут ли происходить электрические колебания в контуре, если придать энергию катушке индуктивности, а не конденсатору?

4. Почему колебания в колебательном контуре не прекращаются в тот момент, когда заряд конденсатора равен нулю?

5. Чему равна энергия контура в произвольный момент времени?

6. В чем заключается роль индуктивности и емкости в колебательном контуре?

7. Как связана циклическая частота колебания с периодом?

 

Опорный конспект можно использовать в виде конспекта лекции

Рассмотреть решение задач:

Задача1. Колебательный контур радиоприёмника настроен на длину волны              λ = 2000 м. Индуктивность катушки контура L = 6 мкГн, максимальный ток в ней Imax = 1,6 мА. В контуре используется плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 2 мм. Чему равно максимальное значение напряжённости электрического поля в конденсаторе в процессе колебаний?

Решение.

Согласно закону сохранения энергии

(1)

(C – ёмкость конденсатора, Umax — максимальное напряжение на конденсаторе). Формула Томсона для периода электромагнитных колебаний в контуре:

. (2)

Формула, связывающая длину волны с периодом колебаний:

(c – скорость света). Решив систему уравнений (1)-(3), находим величину Umax, откуда получаем для искомой напряжённости поля конденсатора:

Ответ: 4,5 В/м

Задача 2. В двух идеальных колебательных контурах с одинаковой индуктивностью происходят свободные электромагнитные колебания, причём период колебаний в первом контуре 9∙10^-8 с, во втором 3∙10^-8 с. Во сколько раз амплитудное значение силы тока во втором контуре больше, чем в первом, если максимальный заряд конденсаторов в обоих случаях одинаков?

Решение

Амплитудное значение силы тока в контуре связано с периодом колебаний и максимальным значением заряда конденсатора соотношением

.Так как заряды в обоих случаях одинаковы, то отношение максимальных значений токов, дает:

,то есть в 3 раза.

Ответ: в 3 раза

 

Решить самостоятельно:

1. Амплитуда силы тока при свободных колебаниях в колебательном контуре 200мА. Какова амплитуда напряжения на конденсаторе колебательного контура, если емкость этого конденсатора 2мкФ, а индуктивность катушки 2Гн? Активным сопротивлением пренебречь.

2. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью 400 пФ и катушку индуктивностью 1мкГн. Каков период собственных колебаний контура?