План занятия:
1. Понятие тригонометрических операций
2. Операции нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
Вопрос 1. Понятие тригонометрических операций
Рассмотрим окружность радиуса R = 1 с центром в начале координат, уравнение которой: x2 + y2 = 1.
Пусть А – произвольная точка этой окружности, (x0, y0) – ее координаты, α – величина угла, образованного отрезком ОА с положительной полуосью Ох.
Иначе говоря, определение координат точек единичной окружности и обратное действие называются тригонометрическими операциями.
Вопрос 2. Операции нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
Тригонометрические функции синус и косинус определяются формулами: sin α = y0 , cos α = x0
Т.е. синус угла α равен вертикальной координате y0 точки А, а косинус угла α равен горизонтальной координате x0 точки А.
Эти определения согласуются с определениями синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике: синус угла α равен отношению противолежащего катета y0 к гипотенузе, равной 1, а косинус угла α равен отношению прилежащего катета x0 к гипотенузе, равной 1.
|
|
Найдём значения синуса и косинуса углов, соответствующих точкам, лежащих на координатных осях.
У точки, соответствующей углу 0°, координаты (1; 0), т.е. х0 = 1, у0 = 0.
Это означает, что sin 0° = 0, cos 0° = 1
У точки, соответствующей углу 90°, координаты (0; 1), т.е. х0 = 0, у0 = 1.
Это означает, что sin 90° = 1, cos 90° = 0
У точки, соответствующей углу 180°, координаты (–1; 0), т.е. х0 = –1, у0 = 0.
Это означает, что sin 180° = 0, cos 180° = -1
У точки, соответствующей углу 270°, координаты (0; –1), т.е. х0= 0, у0 = –1.
Это означает, что sin 270° = -1, cos 270° = 0
Дополнительными тригонометрическими операциями являются тангенс и котангенс
tg (x) = ctg (x) =
Значения тригонометрических функций
1) , cos 30° =
2) ,
3) ,
Аналогичные рассуждения можно провести для углов 120°, 135°, 150°, находящихся во второй четверти.
Найдём значения тригонометрических функций угла 150°. Этот угол соответствует углу 30° из первой четверти.
АОХ = , ВОХ = 150°
По чертежу видно, что у точек А и В координата у одинаковая и равна ,
т.е. sin АОХ = sin ВОХ =
А что же cos 150º? Это координата х точки В. Мы видим, что равны отрезки ОХ1 и ОХ2. Значит, координата х точки В по модулю такая же, как у точки А. Но т.к. В лежит слева от нуля, то координата х имеет знак «–».
Итак, если , то
И тогда sin 150º = sin = , cos 150º = - cos = ,
tg 150º = - tg = , ctg 150º = - ctg =
Значения тригонометрических функций для некоторых значений аргумента