Разложение функции в ряд Фурье

Тема: Разложение функции в ряд Тейлора и в ряд Фурье

Разложение функции в ряд Тейлора

Пример. Разложить в ряд Тейлора f(x) =  по степеням (x – 2).

 

1. Записать формулу ряда Тейлора (Шилкина, с. 108, 4.16)

 

2. Определить, чему равен х₀:

х – х₀ = х – 2 => х = 2.

 

3. Определить формулу общего элемента ряда. Для этого нужно найти несколько элементов ряда, чтобы понять закономерность. На практике достаточно найти 4 – 5 элементов.

 

1) f(x₀) = f(2) =  =  =  = e;

 

2) f ´(x₀) = f ´(2);

 

f ´(x) = (  )´ =  ;

 

f ´(2) =  =  e;

 

3) f ´´(x₀) = f ´´(2);

 

f ´´(x) = (f ´(x))´ = ( ) ´ =  ;

 

f ´´(2) =  = e;

 

4) f ´´´(x₀) = f ´´´(2);

 

f ´´´(x) = (f ´´(x))´ = ( ) ´ =  ;

 

f ´´´(2) =  = e.

n	f(n)(x) в общем виде	f(n)(x0) для случая х0 = 2
0		e
1		e
2		e
3		e
n		e

 

4. Подставить значения а_n в формулу ряда Тейлора:

 

e +  (x – 2) +  (x – 2)² +  (x – 2)³ + … +  (x – 2)ⁿ

 

5. Найти радиус сходимости ряда

 

R =  =  =  =

=  = ∞ – такой же радиус сходимости, как и у стандартного разложения функции e^x в ряд Маклорена (Шилкина, с. 109). Если функция не относится к стандартным, радиус сходимости может быть любой. Обязательно нужно проверять на границах промежутка.

6. Записать ответ:

 

 = e +  (x – 2) +  (x – 2)² +  (x – 2)³ + … +  (x – 2)ⁿ

 

на промежутке (− ∞; + ∞).

 

Пример разложения функции в ряд Тейлора см. [Марков, Станишевская, с. 199 – 200].

Разложение функции в ряд Фурье

 

Разложение в ряд Фурье периодической функции f(x), с периодом Т.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая определена по крайне мере на промежутке [−π, π], (а, возможно, и на большем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке [−π, π], то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:

,

где a₀, a_n, b_n – так называемые коэффициенты Фурье.

При этом число T=2π называют периодом разложения, а число – полупериодом разложения.

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем ряд подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

 

Пример. Разложить функцию f(x) = x + 1 в ряд Фурье на промежутке [−π, π]. Построить график данной функции при [−4π, 4π].

 

1. Построить график функции на промежутке [−π, π]. Для этого определим вид функции – прямая, и найдем ее значения на краях промежутка:

f(−π) = −π + 1 ≈ − 2,14

f(π) = π + 1 ≈ 4,14

Построить отрезок прямой, проходящей через две точки (−3,14; − 2,14) и (3,14; 2,14)

Скопировать этот график вправо и влево на промежутке [−4π, 4π]:

 

 

2. Найти коэффициенты ряда Фурье

 

 

Второй интеграл берется по частям и равен нулю. Сделать самостоятельно.

Третий интеграл также берется по частям и равен

b_n = − .

 

Подробный разбор по ссылке

http://mathprofi.ru/ryady_furie_primery_reshenij.html

 

3. Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить a₀ пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от n, вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке [−π, π]:

 

x – 1 ≈ 1 – 2 ·

Решение данного задания включает в себя график и разложение.

 

Домашнее задание:

1, взять интегралы; 2, с. 195 – 202; 3, с. 105 – 110.

Литература по теме:

1. Ряды Фурье. Примеры решений [электронный ресурс] // Матпрофи. – Режим доступа: http://mathprofi.ru/ryady_furie_primery_reshenij.html

2. Сборник задач и упражнений по высшей математике для студентов экономических специальностей: в 2 ч. / Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков (и др.). – Минск: БГЭУ, 2014. – Ч.2. – 270 с.

3. Шилкина, Е. И. Высшая математика: Часть 2. Учеб.-практ. пособие / Е. И. Шилкина, М. П. Дымков, В. А. Рабцевич. – Мн.: БГЭУ, 2014. – 167 с.