30.04.2020
«Основы программирования: ЯП С/С++/С#»
Год обучения
Индивидуальная работа
Тема: Метод Якоби
Цель: познакомиться с методом Якоби
Задачи обучающие:
· познакомиться с методом Якоби при решении системы уравнений
· реализация очереди средствами С#;
· систематизировать знания обучающихся по данной теме;
· закрепить знания, полученные на предыдущих уроках;
Задачи развивающие:
· развивать умения использовать знания, полученные на уроках информатики, в учебной деятельности;
· развивать логическое мышление, умение обобщать, сопоставлять и применять полученные знания на практике;
· развивать познавательную деятельность обучающихся, развивать умение анализировать происходящие изменения в решении задач;
· развивать познавательный интерес, творческую активность, интеллект;
· развивать интуицию, эрудицию, самостоятельность в суждениях, упорство в достижении цели;
· формирование информационной культуры и потребности приобретения знаний;
· стимулирование познавательного интереса обучающихся по данной теме и дисциплине Информатика и ИКТ в целом.
Задачи воспитательные:
· воспитание творческого подхода к работе, желания экспериментировать;
· профессиональная ориентация и подготовка к трудовой деятельности;
· воспитание информационной культуры, самостоятельности, ответственности;
· развивать культуру общения, воспитывать внимание, сообразительность, находчивость.
ХОД УРОКА
Теория
Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/iteratsionnye-metody-reshenija-slau/
Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации
Определение 1
Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.
Суть: нахождение по приближённому значению величины следующего приближения, которое является более точным. Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x0.
Пример 1
Рассмотрим систему
Чтобы применить итерационный метод, необходимо привести систему к эквивалентному виду . Затем выбираем начальное приближение к решению СЛАУ и находим последовательность приближений к корню.
Для сходимости итерационного процесса является достаточным заданное условие || В ||<1. Окончание итерации зависит от того, какой итерационный метод применили.
Метод Якоби
Определение 2
Метод Якоби — один из наиболее простых методов приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации: из 1-го уравнения матрицы выражаем неизвестное x1, из 2-го выражаем неизвестное x2 и т.д.
Результатом служит матрица В, в которой на главной диагонали находятся нулевые элементы, а все остальные вычисляются по формуле:
Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:
Расчетная формула метода простой итерации:
Матричная запись (координатная):
Критерий окончания в методе Якоби:
В случае если , то можно применить более простой критерий окончания итераций:
Пример 2
Решить СЛАУ методом Якоби:
Как решить?
Необходимо решить систему с показателем точности .
Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:
Выбираем начальное приближение, например: – вектор правой части.
В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:
Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:
Находим норму матрицы В, для этого используем норму .
Поскольку сумма модулей элементов в каждой строке равна 0,2, то
, поэтому можно вычислить критерий окончания итерации:
Далее вычисляем нормы разности векторов:
Поскольку , то можно считать, что мы достигли заданной точности на 4-ой итерации.
Ответ:
2. Задание: запрограммируйте метод Якоби.