Теоретический материал

Семинар 1.  Практикум «Основы финансовой математики: простые и сложные ставки ссудного процента»

Теоретический материал

 

Базовое понятие финансовой математики - процентные деньги (далее – проценты), определение которых составляет сущность большинства финансовых расчетов.

Проценты – это доход от предоставления капитала[1] в долг в различных формах (ссуды, кредиты, займы и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (т.е., процентов) определяется исходя из: величины вкладываемого капитала; срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется; вида процентной ставки (ставки доходности).

Наращение (рост) первоначальной суммы долга происходит за счет присоединения начисленных процентов. Множитель (коэффициент) наращения – величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – промежуток времени, за который начисляются проценты. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Процентные ставки могут быть простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течении всего периода начисления) или сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов).

В российской практике собирательным термином «процентная ставка» обозначают ссудный процент (выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала) и учетную ставку [2] (выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала).

В финансовом анализе учетная ставка: 1) ставка процента, под который Центральный банк страны предоставляет кредиты коммерческим банкам (чем выше учетная ставка Центрального банка, тем более высокий процент взимают затем коммерческие банки за предоставляемый ими клиентам кредит и наоборот); 2) учетный процент, курс, процент, взимаемый банком с суммы векселя при его учете (покупке банком до наступления срока платежа, центральным банком при учете правительственных ценных бумаг или кредита под них).

Механизм воздействия учетной ставки на межбанковский рынок и экономику страны представлен на рис.1.

Рис. 1. Учетная ставка как инструмент денежно-кредитного регулирования.

1. Простые ставки ссудных процентов

Введем следующие обозначения:

i (%)	Простая годовая ставка судного процента
i	Относительная величина годовой ставки процента
Iг	Сумма процентных денег, выплачиваемая за год
I	Общая сумма процентных денег за весь период начисления
P	Величина первоначальной денежной суммы
S	Наращенная сумма
kn	Коэффициент наращения
n	Продолжительность периода начисления в годах
д	Продолжительность периода начисления в днях
T	Продолжительность года в днях

 

Тогда:

(1)

 

Основные формулы для определения наращенной суммы:

	(2)
.	(3)

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы P, которая в будущем должна составить заданную (ожидаемую) величину S. В этом случае P называется современной (текущей, настоящей, приведенной) величиной суммы S.

Определение современной величины P наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S – компаундингом.

Основная формула для операции математического дисконтирования:

(4)

Пример 1. Ссуда в размере 5000 тыс. руб. выдана на 6 мес. по простой ставке 20% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение.

  По формуле (2), S = 5000 (1 + 0,5 * 0,2) = 5000 * 1,1 = 5500 тыс. руб.

Пример 2. Кредит в размере 1 000 тыс. руб. выдан 2 марта до 11 декабря 2019г. под 40% годовых. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов расчета процентов.

Решение.

Для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды[3] по формуле (3) имеем:

1315,556 тыс. руб.

Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды (д =280)[4] получим:

1311,11 тыс. руб.

Пример 3. Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 175 тыс. руб. вырастет до 300 тыс. руб., если используется простая ставка 30% годовых.

Решение.

Используя формулу (4), получим:

 2, 38 года.

Пример 4.  Кредит выдается под простую ставку 22% годовых сроком на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если величина кредита составляет 4000 тыс. руб.

Решение.

По формуле (4) операции математического дисконтирования получаем:

3476,21 тыс. руб.

523,79 тыс. руб.

 

2. Сложные ставки ссудных процентов

Введем следующие обозначения:

i с	Относительная величина годовой ставки сложных процентов
Kн.с.	Коэффициент наращения в случае сложных процентов

 

	(5)
	(6)
	(7)
	(8)

Пример 5. Первоначальная вложенная сумма равна 2000 тыс. руб. Определить наращенную сумму через 5 лет при использовании простой и сложной ставки процентов в размере 25% годовых.

Решение.

По формуле (2) для простых процентных ставок:

S = 2000 (1 + 5^. 0, 25) = 4500,0 тыс. руб.

По формуле (5) для сложных процентов:

S = 2000 (1 + 0,25)⁵ = 6103,5 тыс. руб.

 

Пример 6. Определить современную (текущую, настоящую, приведенную) величину суммы 1000 тыс. руб., выплачиваемой через 3 года, при использовании сложной ставки процентов в размере 33% годовых.

Решение.

По формуле (6):

171,3 тыс. руб.

 

Пример 7. Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальная сумма утроилась за 2 года?

Решение.

Так как коэффициент наращения равен 3, по формуле (8) определяем сложную ставку ссудного процента:

или 73,2%.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Ссуда в размере 6000 тыс. руб. выдана на 3 месяца по простой ставке размером 50% годовых. Определить наращенную сумму.

Задача 2. Определить коэффициент наращения, если величина первоначальной суммы составила 1000 тыс. руб., а сумма, наращенная по простой ставке ссудного процента, 1650 тыс. руб.

Задача 3. Кредит в размере 2 млн. руб. выдан 1 июля до 15 декабря под 45% годовых. Определить величину наращенной суммы для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

Задача 4. Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 250 тыс. руб. вырастет до 600 тыс. руб., если используется простая ставка размером 35% годовых.

Задача 5. Кредит выдается по простую ставку размером 120% годовых на 200 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если величина кредита составляет 850 тыс. руб.

Задача 6. Первоначальная вложенная сумма равна 1800 тыс. руб. Определить наращенную через 4 года сумму при использовании сложной ставки ссудного процента в размере 45% годовых.

Задача 7. Для условий задачи 6 определить наращенную сумму при использовании простой процентной ставки и сравнить полученные результаты по двум видам ставок. Определить сумму «выигрыша».

Задача 8. Определить сложную ставку ссудного процента, при которой первоначальная сумма вклада увеличилась в 4 раза через 3 года.

[1] Капитал - этос овокупность материальных, интеллектуальных и финансовых средств, используемых для получения прибыли, дополнительных материальных благ. Различают следующие виды капитала: реальный капитал (основной и оборотный), финансовый капитал (наличные деньги, ценные бумаги, накопления) и человеческий капитал (трудовые ресурсы, инвестиции в их образование и т.д.). Реальный капитал также делится на основной капитал и оборотный.

 

[2] Учетная ставка (ставка рефинансирования) — это инструмент денежно-кредитного регулирования, один из методов антиинфляционнной политики, с помощью которого Центральный банк воздействует на межбанковский рынок и экономику страны.

[3] Точное число дней ссуды определяется по специальной таблице, глее показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня займа (дни выдачи и погашения ссуды считаются за один день).

[4] При определении приблизительного числа дней ссуды, продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням, а длительность года - 360 дней.