Практическая работа № 14
Тема: « Призма. Пирамида. Усеченная пирамида»
Цель работы: систематизировать знания и навыки решения задач по данной теме.
Порядок выполнения работы:
1. Повторите теоретические материал по теме работы
2. Постройте призму и пирамиду и на чертеже укажите их основные элементы. Запишите формулы полной и боковой поверхности для призмы и пирамиды.
3. Выполнить задания своего варианта
4. Оформить работу и сделать вывод
Теоретическая часть
Призма
1.1. Понятие многогранника
1. Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников (многоугольник – это плоскостная фигура) и ограничивающая некоторое геометрическое тело;
2. Элементы многогранника: грани (многоугольники, из которых составлен многогранник), ребра (стороны граней), вершины (концы ребер), диагональ (отрезок, соединяющий вершины, не принадлежащие одной грани). По рисунку 1. Определите количество ребер, вершин, граней приведенных многогранников;
3. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые
|
|
1.2. Призма
Определение. Призма –это многогранник, составленный из двух равных n – угольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n одинаковых параллелограммов.
Рассмотрим два одинаковых многоугольника, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки, соединяющие их вершины, идут параллельно (см. рис.)
Какой многоугольник лежит в основании, так и называется призма:
треугольник – треугольная, четырехугольник – четырехугольная и т.д.
На рисунке изображена наклонная пятиугольная призма.
Обозначение: ABCDEA1B1C1D1E1 – наклонная пятиугольная призма.
Элементы:
ABCDE и A1B1C1D1E1 – нижнее и верхнее основания;
AA1B1B, AA1E1E … - боковые грани (параллелограммы – по определению);
AA1, BB1, CC1 … - боковые ребра;
A, B, C, А1, B1, C1… - вершины;
Боковые ребра AA1= BB1= … = CC1 (как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями);
Высота – это перпендикуляр между основаниями, h = OO1.
1.3. Виды призм
Наклонная – боковые ребра не перпендикулярны к основаниям;
Прямая – боковые ребра перпендикулярны к основаниям.
В прямой призме:
1) боковое ребро является высотой (h = AA1 = BB1…)
2) боковые грани – прямоугольники.
Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т.д.). В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.
Итак, если призма правильная, то она обязательно прямая. Обратное утверждение неверно.
Пример. На рисунке изображена правильная треугольная призма ABCA1B1C1:
|
|
ΔABC – правильный, т.е. в нем равны стороны, углы, совпадают центры вписанной и описанной окружностей и т.п.
Самостоятельно: изобразите правильную четырехугольную призму. Действительно, это прямоугольный параллелепипед, в основании которого – квадрат. Определите, центры и радиусы вписанной т описанной окружностей.
1.4. Площадь поверхности призмы
- Полная поверхность призмы складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Боковая поверхность – это поверхность, составленная из боковых граней. Таким образом:
;
- Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:
Решение задач
Задача 1. Диагональ куба равна 3. Найдите площадь его поверхности.
Решение. Пусть ребро куба – a. Тогда куб состоит из 6 равных квадратов, площадь каждого из которых a2.
Ответ: 18
Задача 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в два раза?
Решение. . Ответ: в 4 раза
Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде . Найдите длину ребра DC.
Решение. Известны два измерения и диагональ параллелепипеда. Тогда по формуле:
. Ответ: 3
Задача 4. Основанием прямого параллелепипеда (прямой призмы) является ромб с диагоналями 10см и 24см. Высота параллелепипеда – 10см. Найти: 1) площадь полной поверхности призмы; 2) большую диагональ призмы.
Делаем рисунок. Ромб в основании изображается в виде произвольного параллелограмма.
Призма прямая – значит, на рисунке около любого бокового ребра ставим h. Определяем, какая диагональ будет наибольшей.
Дано:
ABCDA1B1C1D1 – прямая призма
Основание ABCD – ромб AC = 24см, BD = 10см
h = 10см
Найти: 1) S п.п. 2) A1C
Решение:
1)
1.1) (см. «Площади фигур»)
1.2)
Pосн = PABCD = 4∙AB т.к. стороны ромба равны.
Ищем сторону AB. Для этого изобразим ромб ABCD в плоскости листа.
В параллелограмме точкой пересечения диагонали делятся пополам.
Особое свойство ромба – диагонали пересекаются под прямым углом.
Тогда из ΔABO:
Подставляем и считаем Pосн = 4∙13 = 52
S б.п. = 52∙10 = 520
2) В данном параллелепипеде четыре попарно равные диагонали: A1C = AC1 и BD1 = B1D.
Диагонали равны как гипотенузы прямоугольных треугольников с равными катетами. Поскольку AC > BD по условию, то A1C > B1D.
Из ΔACA1:
Ответ: 760см2, 26см
1.1. Пирамида. Элементы пирамиды
Рассмотрим многоугольник A1A2…An и точку S, не лежащую в плоскости многоугольника.
Соединим точку S со всеми вершинами многоугольника.
Полученное таким образом тело, называется пирамидой.
Определение. Многогранник, составленный из многоугольника (n-угольника) и n треугольников, называется пирамидой.
На рисунке изображена пятиугольная пирамида, т.к. в основании лежит пятиугольник.
Обозначение: название пирамиды начинается с вершины (точки S): SA1A2A3…An
Элементы:
Многоугольник A1A2…An – основание;
Точка S – вершина;
Треугольники A1SA2, A2SA3…- боковые грани;
Отрезки SA1, SA2…SAn - боковые ребра;
Отрезок SO = h – высота пирамиды. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.
Построение углов в пирамиде:
1) Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (это угол между прямой и плоскостью. Построение см. Тема 7.1 Лекция 3). На рисунке – это углы SA2O, SA3O.
|
|
2) Угол наклона боковых граней к плоскости основания (это угол между двумя гранями, т.е. двугранный угол). На рисунке этих углов нет.
Утверждения:
1) Если в пирамиде равны углы наклона боковых ребер к плоскости основания, то вершина проецируется в центр описанной окружности основания. (Точка О равноудалена от вершин)
2) Если в пирамиде равны углы наклона боковых граней к плоскости основания, то вершина проецируется в центр вписанной окружности. (Точка О равноудалена от сторон основания)
Пирамида, в основании которой лежит треугольник, (т.е. пирамида с четырьмя гранями) называется тетраэдр.
1.2. Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если:
1) в основании лежит правильный многоугольник;
2) отрезок, соединяющий центр основания с вершиной, является высотой. Т.е. вершина проецируется в центр основания. Центр основания – это центр вписанной или описанной окружности (для правильного многоугольника совпадают).
На рисунке изображена правильная треугольная пирамида. В основании правильный Δ (в изображении на рисунке – произвольный). Точка О – центр вписанной или описанной окружности. Ее нельзя просто поставить, а нужно строить!! (Построение см. Справочный материал). Из точки О восстановлен перпендикуляр. На нем стоит вершина S.
Помня, что Δ в основании правильный (т.е. О – точка пересечения медиан, высот, биссектрис, серединных перпендикуляров), достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники SOA, SOB, SOC, чтобы доказать свойства правильной пирамиды.
Свойства правильной пирамиды:
1) Боковые ребра равны.
2) Боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
3) Углы наклона боковых ребер к плоскости основания равны (на рисунке это углы SAO, SCO).
4) Углы наклона боковых граней к плоскости основания равны (на рисунке это углы SMO, SKO).
Для правильной пирамиды вводится новый элемент: апофема. Апофема – это высота боковой грани (обозначается H). На рисунке H = SM = SK. (Очевидно, что апофема пройдет через середину стороны основания).
Самостоятельно: изобразить правильную четырехугольную пирамиду, определить ее элементы, построить угол наклона бокового ребра к плоскости основания и угол наклона боковой грани к плоскости основания.
|
|
1.3. Площадь поверхности пирамиды
- Полная поверхность пирамиды:
- Боковая поверхность (т.е. сумма площадей боковых граней)
Для правильной пирамиды.
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
1.4. Усеченная пирамида
Если в произвольную пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то она разобьет пирамиду на два многогранника – маленькую пирамиду и усеченную пирамиду.
На рисунке: ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида.
Высота – отрезок OO1.
Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
Для усеченной правильной пирамиды – равные равнобедренные трапеции.
Апофема – высота этих трапеций.
Площадь поверхности усеченной пирамиды:
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полу суммы периметров оснований на апофему.
Требования к содержанию отчета по работе
Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.
Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):
· Понятие многогранника
· Определение призмы
· Правильная призма
· Виды призм
· Формула площади поверхности призмы
· Сечение призмы плоскостью
Приложение.