Алгоритм решения задач

ЭТ-19 Математика                                                                    29.04.20

Тема: Применение неопределенного интеграла при решении прикладных задач

Задание: 1.Записать конспект в тетрадь с образцами решения задач.

    2. Решить задачи для самостоятельного решения.

        3. Отчет отправить по ссылке: https://vk.com/topic-193913663_41485848

 

При интегрировании функции получается совокупность ее первообразных. Для выделения из всей совокупности конкретной первообразной задают дополнительные данные (начальные условия).

Алгоритм решения задач

1. Найти неопределенный интеграл от заданной функции.

2. В полученную совокупность первообразных подставить начальные условия и вычислить величину С.

3. Записать искомую первообразную, подставляя найденное значение С.

 

Рассмотрим некоторые задачи физической направленности.

Для этого вспомним, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные действия. Отсюда получаем нужные нам  формулы:

Производная	Интеграл
v(t) = s¢(t) Скорость – это производная от пути по времени	Путь – это интеграл от скорости по времени
a(t) = v¢(t) Ускорение – это производная от скорости по времени	Скорость – это интеграл от ускорения по времени

Задача 1. Скорость тела после начала движения равна v =(4 t +5) м/с. Определить закон движения тела, если за 2 секунд от начала отсчета тело прошло путь, равный 20 м.

Решение: Нам известна скорость, надо найти закон движения, это путь. Выбираем формулу  

Тогда .

Подставляем начальные условия: t = 2с, S= 20 м. Получим уравнение

20 = 2 * 2² + 5 * 2 + С

Решим это уравнение и найдем значение С.

20 = 8 + 10 + С

С = 2

Теперь подставим значение С в выражение пути. Тогда окончательно имеем

S =2 t ²+5 t +2 (м).

Задача 2. Скорость движения тела задана формулой    v = sin2t (м/с). Найти путь, пройденный телом в любой момент времени, если в момент  c тело находилось на расстоянии 0,75 м от начала отсчета.

Решение: Опять используем формулу 

(Интегрировали как сложную функцию)

Подставляем начальные условия: с,    S= 0,75 м. Получим уравнение

0,75 =

Ответ:

Задача 3. Точка движется прямолинейно с ускорением    a=(t²+1) м/с².    Найти закон движения тела, если в момент времени t = 1c ее скорость v=2м/с, а пройденный путь S= 4м.

Решение:

1). Дано ускорение, значит, сначала можем найти скорость по формуле

Используем начальные условия t = 1c, v=2м/с

, отсюда посчитаем, что С = .

Получаем скорость (м/с).

2). Из скорости находим путь

t+C

Подставляем начальные условия t = 1c, S= 4м.

Отсюда получаем, что С =

Получаем ответ:  

Решить следующие задачи.

 1. Скорость прямолинейного движения тела в любой момент времени t равна V= 3 t ² + 4 t (м/с). Найти расстояние, пройденное телом в любой момент времени от начала отсчета, если через 2 с оно равно 15 м.

2. В любой момент времени скорость тела V= p×cosp t ( м/с). Найти закон движения тела, зная, что в момент времени t =2с пройденное от начала отсчета расстояние равно4 м.

3. Сила, действующая на тело в направлении движения, меняется со временем по закону F =6 t (Н). Найти скорость тела в любой момент времени, зная, что в момент начала отсчета она была равна 1 м/с. Масса тела 3 кг.

(Посказка. Сначала найдите ускорение а, используя Второй закон Ньютона)