Степени мнимой единицы.
Вывод: значение степеней числа повторяются с периодом, равным 4.
Множество комплексных чисел обозначается буквой .
– алгебраическая форма комплексного числа, где – действительная часть, - мнимая часть, – коэффициент мнимой части.
Замечание. Знак “+” в алгебраической форме комплексного числа следует понимать не как знак операции сложения, а как некоторый формальный соединительный символ.
О.3. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и коэффициенты их мнимых частей, т.е. если
.
Примеры комплексных чисел в алгебраической форме:
.
Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Сложение (вычитание).
Пусть . Тогда
. Найти .
Решение.
.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
Коммутативность
Ассоциативность
.
Умножение производится по обычному правилу умножения многочленов.
Пусть .
Тогда
. Найти .
Умножение комплексных чисел обладает свойствами:
Коммутативность
Ассоциативность
Дистрибутивность
3. Умножение на сопряженное число
О.4. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга, только знаками перед мнимой частью.
Числа называются сопряженными.
Например, числа – сопряженные;
числа – сопряженные.
Произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному положительному числу, т.е.
4. Деление
Пусть . Тогда
. Найти .
Решение.
Модуль комплексного числа. Его свойства.
О.5. Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число, равное
Например, для числа найти его модуль.
Свойства модуля комплексного числа:
Первичное закрепление знаний.
Даны числа: и . Назовите для них сопряженные и выполните сложение, вычитание, умножение и деление. В получившихся числа назвать действительную и мнумую части. Посчитать модули этих чисел.
Постановка домашнего задания.
Выучить тему «Комплексные числа»; для чисел и выполнить сложение, вычитание, умножение, деление. Найти модуль этих чисел.
Рефлексия.
- Какие числа называются комплексными?
- Что такое мнимая единица?
- С каким периодом повторяются степени мнимой единицы?
- Какой буквой обозначается множество комплексных чисел?
- Как выполняется сложение комплексных чисел?
- По какому правилу производится умножение комплексных чисел?
- Какие комплексные числа называются сопряженными?
- Как выполнить деление комплексных чисел?
- Что такое модуль комплексного числа?