Неопределённый интеграл и его свойства. Формулы интегрирования.
I. Определение неопределённого интеграла.
ОПР. Совокупность всех первообразныхна заданном интервале называется неопределённым интегралом. знак интеграла
F(x) + С = - Читается: интеграл эф от х по dx
f(x) - функция; dx – дифференциал; f(x)dx – подинтегральное выражение.
II. Таблица интегралов
III Свойства неопределённого интеграла
1) Интеграл суммы функций равен сумме интегралов:
∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
2) Постоянный коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла:
∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx.
3) Метод интегрирования по частям
∫udv = uv − ∫vdu, где u(x), v(x) − дифференцируемые функции.
IV Определенный интеграл
ОПР. Интеграл вида называется определённым интегралом, где a, b – пределы интегрирования. а – нижний предел, b – верхний предел.
Формула нахождения определённого интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница. (Н-Л будем писать далее коротко)
|
|
Согласно формуле определённый интеграл есть число, которое определяется по формуле Н-Л: = F(x) = F(b) - F(a), (| - подстановка, F(x) первообразная)
V Свойства определённого интеграла
1. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций: = +
Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций: = −
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
= k
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:
= −
4. Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:
= 0
VI Вычисление определённого интеграла
Для вычисления определённого интеграла от функций f(x) надо найти соответствующий неопределённый интеграл и найти разность значений при верхнем и нижнем пределах интегрирования, применяя формулу Ньютона-Лейбница.
Определённый интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Примеры вычисления интегралов:
1. = sin x + 1x + C
2. =
3.
Важно! При вычислении неопределённого интеграла в ответе всегда стоит + С.
При вычислении определённого интеграла в ответе всегда получаем ЧИСЛО.
Существуют ещё свойства определённого интеграла
5. Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования: = b − a
6. Пусть точка c принадлежит отрезку [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме интегралов на частичных промежутках [a,c] и [c,b]: = +
|
|
7. Метод подстановки для определенного интеграла
Если x=g(t), то = , где c=g-1(a), d=g-1(b).
(Из лекции можно распечатать таблицу интегралов, остальное конспектировать!!!)