Решение
Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3⋅x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным
числом. Получаем, что (3⋅x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4
Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3⋅x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].
Весь выше прописанный алгоритм записывается так:
3⋅x+12≤0; 3⋅x≤−12; x≤−4.
Пример 2
Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7⋅z>0.
Решение
Из условия видим, что коэффициент a при z равняется −2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.
|
|
Производим деление обеих частей уравнения на число −2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7⋅z)L−2,7)<0L−2,7), и дальше z<0.
Весь алгоритм запишем в краткой форме:
−2,7⋅z>0; z<0
Ответ: z<0 или (−∞, 0).
-Итак, чтобы решить неравенства, нужно:
· раскрыть скобки;
· слева собрать переменные, а справа числа;
· привести подобные слагаемые;
· разделить обе части на коэффициент при x.
Пример:
Решить неравенство 5⋅(x+3)+x≤6⋅(x−3)+1
Решение
Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5⋅x+15+x≤6⋅x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6⋅x+15≤6⋅x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0. Отсюда имеет неравенство вида 32≤0, из полученного при вычислении 0⋅x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство >0.
Решение:
- Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду >0.
- Приравниваем числитель к нулю f(x)=0. X−1=0
x=1 – это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.
- Приравниваем знаменатель к нулю g(x)=0. X+3=0
x=−3 – это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
|
|
- Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):
x−1x+3 = 2−12+3=15>0,
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.
|
|
|
Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства >, выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.
Ответ: x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)
Самостоятельная работа
1) 7 – 2(х – 3)
2) 4(х + 5)
3) 9х + 3(х +2)
4)
5)
6) +
7)