Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Экзамен
По дисциплине: Математика (1сем.)
Выполнила: Свистуненко И.Г.
Группа: ПБТ-23
Вариант: 03
Проверил: ___________________
Новосибирск, 2012 г
Билет № 19
Методы интегрирования тригонометрических функций.
1) Рассмотрим интеграл от тригонометрических функций .
Этот интеграл с помощью подстановки всегда сводиться к интегралу от рациональной функции. Выразим Sin x, Cos x и dx через , то есть через t.
.
.
Если , то , а .
Пример: . , тогда , .
Следовательно, .
Подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида R(Sin x, Cos x).
Поэтому эту подстановку называют универсальной.
2) Рассмотрим интегралы вида:
а) .
Используют в этом случае подстановку Sin x = t, а Cos x dx = dt.
б) .
Используют подстановку Cos x = t, -Sin x = dt.
3) Рассмотрим интегралы .
а) если Sin x и Cos x входят только в чётных степенях, то используют подстановку tg x = t, так как и выражаются рационально через tg x.
|
|
; .
x=arctgt, .
б) если одно из чисел m и n нечетно, то этот интеграл сводиться к интегралу от рациональных функций подстановками Sin x =Z или Cos x=Z.
4) Для нахождения интегралов и . Используют подстановку tgx=t, (ctgx=t)
5) Рассмотрим интегралы вида:
; ; .
Эти интегралы находятся путем разложения на слагаемые по формулам:
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она расположена выше любой своей касательной, то она называется выпуклой вниз в этом интервале.
Рис. 1. Точка B – точка перегиба
Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление её выпуклости.
Направление выпуклости кривой y=f(x) характеризуется знаком второй производной :
если в некотором интервале , то кривая выпукла вниз, то есть,
вогнута, а если , то кривая выпукла вверх, то есть, выпукла,
в этом интервале.
Абсциссы точек перегиба кривой y=f(x) находятся по следующему правилу:
1. Находится и точки x, в которых или не существует и которые лежат внутри области определения функции.
2. Определить знак слева и справа от каждой из этих точек. Исследуемая точка x будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от неё имеет разные знаки.
Пример: Задана кривая . (рис. 2)
Исследуем её на выпуклость, вогнутость, перегиб.
Находим ; .
, 6x=0, отсюда x=0.
При x<0, получаем . Следовательно, кривая выпуклая.
При x>0, получаем . Значит, кривая вогнута. Следовательно, x=0 – абсцисса точка перегиба.
|
|
Рис. 2. Кривая
3. Вычислить предел .
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида .
Для нахождения предела в этом случае используем правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных,
то есть, , при или .
Следовательно,
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (0; 0; 2).
Если поверхность задана уравнением F(x; y; z)=0 и точка лежит на ней, то касательная плоскости к поверхности в точке определяется уравнением:
,
а нормаль к поверхности в точке определяется уравнением:
.
Находим частные производные , , .
Вычислим значения частных производных в точке (0; 0; 2)
Запишем уравнение искомой касательной плоскости
(x-0)*ln2+(y-0)ln2+(z-2)*(-1)=0.
Ln2*x+ln2*y-z+2=0.
Запишем уравнение нормали
.
5. Найти интеграл
Используем подстановку Cosx=t.
Продифференцируем это равенство: -Sinxdx=dt;
Sinxdx=-dt
Тогда .
6. Вычислить интеграл
Используем подстановку , тогда 4x-2= ; ; 4dx=2tdt;
Если x=1, получаем .
Если x=0,5, получаем t=0.
Следовательно, .
7. Исследовать сходимость интеграла .
По определению несобственного интеграла в этом случае получаем
.
Найдем . Используем подстановку , тогда ;
dx=2tdt.
Следовательно,
Разложим подынтегральную дробь на сумму двух элементарных дробей.
.
Следовательно, .
Тогда .
Таким образом,
Следовательно, несобственный интеграл сходиться.
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Сделаем чертеж. (рис. 3)
;
Ветви параболы направлены вверх.
Вершина её – точка A(-1;-1).
Найдем точки пересечения параболы с осями координат. Если x=0; y=0. Парабола проходит через начало координат.
Если y=0, то ; x(x+2)=0; .
Парабола пересекает ось OX в точках . Для построения прямой возьмем две точки B(0;2) и C(-2;0).
Найдем точки пересечения заданных линий.
Для этого решим систему уравнений
;
; ; ; ;
;
Рис. 3. Парабола
Если на интервале [a;b] фигура ограничена двумя линиями и , то площадь такой фигуры находиться по формуле:
( > )
В нашей задаче a=-2; b=1; ; . Таким образом,