Задача 7. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Алгоритмы решения основных метрических задач стереометрии

Задача 1. Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками – длина отрезка, соединяющего эти точки.

Его длина (в общем случае) находится по теореме косинусов из треугольника, в котором этот отрезок является стороной. При этом должны быть известны две другие стороны и угол.

 

Задача 2. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Расстояние от точки А до прямой ВС – высота АН треугольника АВС. Для ее вычисления нужно:

1. Найти все стороны треугольника АВС
2. Если треугольник равнобедренный, по теореме Пифагора найти его высоту ВК, проведенную к основанию АС, а затем по свойству площади записать АС∙ВК=ВС∙АН, откуда найти искомую величину АН.
3. Если треугольник общего вида, то по теореме косинусов найти косинус угла В, затем, пользуясь основным тригонометрическим тождеством, найти синус угла В, после чего вычислить АН=ВА∙ sinB.

 

Задача 3. Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся.

Для его вычисления необходимо:

1. Выбрать одну из данных прямых и определить, в какой плоскости она находится.
2. Найти точку пересечения второй прямой с плоскостью, содержащей первую прямую.
3. В этой плоскости через точку, найденную на предыдущем шаге, провести прямую параллельную первой прямой.
4. Построенный угол найти по теореме косинусов из треугольника, содержащего этот угол.

 

Вспомогательное построение 1: построение плоскости, перпендикулярной данной прямой

По признаку, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.

Поэтому нужно найти (построить) две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна данной прямой. Через эти прямые проводится искомая плоскость.

 

Вспомогательное построение 2: построение плоскости, перпендикулярной данной плоскости

По признаку, две плоскости перпендикулярны, если в одной из этих плоскостей существует прямая, перпендикулярная другой плоскости. Поэтому необходимо:

1. Выбрать в данной плоскости прямую, к которой легко построить перпендикуляры.
2.  Выполнить вспомогательное построение 1, а именно:

-провести две пересекающиеся прямые, перпендикулярные выбранной на первом шаге прямой.

-построить плоскость, проходящую через эти две прямые. Это искомая плоскость

 

Задача 4. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

При построении используется свойство перпендикулярных плоскостей: если прямая, лежащая в одной из перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии пересечения плоскостей, то она перпендикулярна и второй плоскости.

1. Выполнить вспомогательное построение 2. В результате получить вспомогательную плоскость, перпендикулярную данной плоскости.
2. Найти линию пересечения плоскостей.
3. Если данная точка лежит в построенной вспомогательной плоскости, то достаточно провести из данной точки перпендикуляр к линии пересечения плоскостей.
4. Если данная точка не лежит в построенной плоскости, нужно через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости, найти точку пересечения этой прямой с вспомогательной плоскостью, а затем уже опустить перпендикуляр их этой точки к линии пересечения плоскостей.

 

Задача 5. Угол между плоскостями.

 При пересечении двух плоскостей образуется 4 двугранных угла. Угол между плоскостями равен меньшему из образовавшихся углов. Мерой двугранного угла является мера его линейного угла.

Построение линейного угла данного двугранного угла.

Первый способ (по определению)

1. Найти ребро двугранного угла (линию пересечения плоскостей)

2. Построить в каждой плоскости прямые, перпендикулярные ребру двугранного угла (лучше, если эти прямые будут иметь на ребре двугранного угла общую точку)

3. Искомый угол – угол между этими прямыми

Второй способ (с помощью теоремы о трех перпендикулярах)

1. Выбрать точку на одной из данных плоскостей

2. Из выбранной точки опустить перпендикуляр на вторую плоскость (если опускается перпендикуляр на плоскость основания, то он параллелен высоте многогранника).

3. Из основания перпендикуляра опустить перпендикуляр на линию пересечения плоскостей (получим проекцию наклонной).

4. Соединить точку, полученную на линии пересечения плоскостей, с выбранной на первом шаге точкой. Получим наклонную, перпендикулярную линии пересечения плоскостей.

5. Искомый угол – это угол между наклонной (шаг 4) и ее проекцией (шаг 3).

 

Задача 6. Угол между наклонной и плоскостью

Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и ее проекцией на плоскость

1. Найти точку пересечения данной прямой и плоскости (эта точка – основание наклонной)
2. Из какой-нибудь точки данной прямой опустить перпендикуляр на плоскость.
3. Соединить основание наклонной и основание перпендикуляра – получить проекцию наклонной на плоскость
4. Искомый угол – угол между наклонной и ее проекцией – найти как угол прямоугольного треугольника.

 

Задача 7. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.

Способ 1 (с помощью параллельной плоскости)

Пусть а и b  - данные скрещивающиеся прямые.

1. На прямой b выбрать точку и через нее провести прямую а₁, параллельную прямой а.
2. Через пересекающиеся прямые а₁ и b построить плоскость (эта плоскость параллельна прямой а по признаку)
3. Из произвольной точки прямой а опустить перпендикуляр на построенную плоскость. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от первой прямой до параллельной ей плоскости, содержащей вторую прямую, то есть искомому расстоянию между прямыми а и b.

 

Способ 2 (с помощью перпендикулярной плоскости)

Пусть а и b - данные скрещивающиеся прямые.

1. Построить плоскость, перпендикулярную прямой а.
2. Отметить точку пересечения прямой а и этой плоскости.
3. Найти точку пересечения второй прямой b с этой плоскостью (основание наклонной).
4. Из произвольной точки М второй прямой провести прямую, параллельную прямой а (эта прямая перпендикулярна построенной плоскости и дает при пересечении с плоскостью проекцию точки М, т.е. основание перпендикуляра).
5. Соединить основание наклонной и основание перпендикуляра (получатся проекция второй прямой на плоскость)
6. Из точки пересечения первой прямой с плоскостью (шаг 2) опустить перпендикуляр на проекцию второй прямой (шаг 5).
7. Длина построенного отрезка равна искомой длине общего перпендикуляра. Эта же величина – расстояние от первой прямой до параллельной ей плоскости, содержащей вторую прямую.