Лекция 8. Применение частных производных: задачи на экстремум. Метод Лагранжа

Задачи на экстремум имеют большое значение в экономических расчетах. Это вычисление, например, максимумов дохода, прибыли, минимума издержек в зависимости от нескольких переменных: ресурсов, производственных фондов и т.д.

Теория нахождения экстремумов функций нескольких переменных излагается в базовом курсе математики. Напомним основные моменты.

Частная производная функции по аргументу, например, х является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении у.

Точка , в которой для дифференцируемой функции выполняется условие (необходимое условие существования локального экстремума):

, (8.1)

называется критической точкой возможного экстремума или стационарной точкой.

Теорема (достаточное условие локального экстремума). Пусть в точке и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные функции непрерывны. Тогда, если

, (8.2)

то функция имеет в точке М₀ локальный экстремум: максимум при и минимум при . Если , то данная функция не имеет локального экстремума в точке М₀..

Пример 1. Небольшая фирма производит два вида товаров G₁ и G₂ и продает их по цене 1000 и 800 соответственно. Функция затрат (издержек) имеет вид:

, (8.3)

где Q₁ и Q₂ обозначают объёмы выпуска соответственно товаров G₁ и G₂.

Требуется найти такие значения Q₁ и Q₂, при которых прибыль, получаемая фирмой, максимальна.

Поскольку фирма небольшая, она не может монопольно устанавливать цены и вынуждена ориентироваться на рыночные цены, которые не зависят от объёмов производства Q₁ и Q₂ (эти объёмы слишком малы). Поэтому суммарный доход от продажи товаров G₁ и G₂

(8.4)

Прибыль p представляет собой разницу между доходом R и затратами C, поэтому

, (8.5)

или

. (8,6)

Эта и есть та самая функция двух переменных, максимум которой следует найти, т.е. решить задачу оптимизации.

Для того, чтобы найти стационарные точки, вычисляем частные производные первого порядка

и приравниваем их к нулю, что дает систему двух уравнений с двумя неизвестными

Решение этой системы и даст нам координаты стационарной точки. Вычитая из первого уравнения почленно второе, получаем

или

. (8.7)

Подставляя полученное значение в первое уравнение, находим

. (8,8)

Таким образом, стационарная точка имеет координаты

.

Остается выяснить вопрос: имеем ли мы в стационарной точке максимум, минимум или не имеем ни того, ни другого. Для решения вычисляем частные производные второго порядка

и оставляем выражение

(8.9)

Кроме того,

. (8.10)

Поэтому в стационарной точке имеет место максимум. Подставляя координаты стационарной точки в функцию прибыли

.

Это и есть величина максимальной прибыли, которая достигается при объёмах производства Q₁=100; Q₂=300, что завершает решение задачи.

Учитывая актуальность получения максимальной прибыли при любой предпринимательской деятельности, разберем следующую задачу.

Пример 2. Фирма реализует часть товара на внутреннем рынке, а другую часть поставляет на экспорт. Связь цены товара q₁ и его количества р₁, проданного на внутреннем рынке, описывается кривой спроса с уравнением:

Аналогично для экспорта количество р₂ и цена q₂, также связаны соотношением (уравнением кривой спроса)

Суммарные затраты даются выражением

.

Спрашивается какую ценовую политику должна проводить фирма, чтобы прибыль была максимальна.

Прежде всего необходимо определить доход фирмы, который складывается из двух частей: продаж на внутреннем рынке

и экспортных поставок

(в обоих случаях цена берется из соответствующих кривых спроса).

Поэтому суммарный доход

Теперь можно легко найти получаемую фирмой прибыль

Эта функция двух переменных, нахождение максимума которой и решает задачу оптимизации.

Вычисляем частные производные первого порядка

Приравнивая их к нулю, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

В данном случае система решается тривиально

,

и мы получили координаты единственной стационарной точки.

Далее вычисляем частные производные второго порядка

и проверяем знак выражения

Отсюда заключаем, что в стационарной точке (240,340/3) имеет место максимум.

Для того чтобы ответить на вопрос об оптимальной ценовой политике фирмы, подставляем координаты точки максимума в кривые спроса:

Это и есть оптимальные цены для продажи на внутреннем рынке и по экспорту.

Нам осталось подсчитать максимальную прибыль при оптимальных объёмах продаж на внутреннем и внешнем рынках. Подставляя полученные значения q₁ и q₂ (координаты стационарной точки) в функцию прибыли, легко находим эту прибыль

.

Рассмотрим частный случай более общей задачи нелинейного программи­рования, предполагая, что система ограничений содержит только уравнения, отсутствуют условия неотрицательности переменных и и - функции, непрерывные вместе со своими частными производными

; (8.11) (8.12)

Задачу (5.11) - (5.12) называют зада­чей на условный экстремум или классической задачей оптимизации.

Чтобы найти решение этой задачи, вводят набор переменных называемых множителями Лагранжа,составляют функцию Лагранжа

(8.13)

находят частные производные и и рас­сматривают систему уравнений

(8.14)

с неизвестными. Всякое решение системы уравнений (5.14) определяет точку , в кото­рой может иметь место экстремум функции . Следова­тельно, решив систему уравнений (5.14), получают все точки, в которых функция (5.11) может иметь экстремальные значения. Дальнейшее исследование найденных точек проводят так же, как и в случае без­условного экстремума.

Таким образом, определение экстремальных точек задачи (8.11) -(8.12) методом множителей Лагранжа включает следующие этапы:

1. Составляют функцию Лагранжа.

2. Находят частные производные от функции Лагранжа по пере­менным и и приравнивают их нулю.

3. Решая систему уравнений (8.14) находят точки, в которых целе­вая функция задачи может иметь экстремум.

4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум, и вычисляют значения функции (8.11) в этих точках.

Дальше приводится задача на нахождение условного экстремума методом Лагранжа (пример 3)

Пример 3. Фирма-монополист производит два вида товаров G₁ и G₂ в количестве q₁ и q₂ соответственно. Функция затрат имеет вид:

а кривые для спроса для каждого товара:

где р₁ и р₂ – цена единицы соответственно товаров G₁ и G₂. Кроме того, фирма связана ограничением на общий объём производства товаров G₁ и G₂, её квота составляет 15 единиц, т.е.

q₁+q₂=15.

Требуется найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии.

Решение задачи начнем с построения целевой функции, в данном случае прибыли, которая определяется как разница между доходами и затратами:

Для дохода от продажи товара G₁ имеем:

где выражение для р₁ берется из кривой спроса товара G₁. Аналогично доход от продажи товара G₂:

Очевидно, что суммарный доход будет

.

Поскольку затраты известны из условия задачи, то прибыль (целевая функция) имеет вид:

Переписав ограничение в виде

получаем задачу условной оптимизации (поиска условного экстремума). Для её решения применим метод Лагранжа.

Строим вспомогательную функцию

Вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю:

Мы получили систему трех уравнений с тремя неизвестными. Представляем её в виде

и решаем методом исключения. Для этого складываем первое и втрое уравнения, что дает

Подставляя в первое уравнение, полученное значение, получаем

т.е. систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решая её, легко находим

q₁=10; q₂=5.

Это и есть координаты точки условного экстремума, т.е. тот объём продаж, при котором прибыль максимальна. Соответствующее значение самой прибыли будет