Переходные процессы в цепях первого порядка
Рассмотрим применение классического метода к расчету переходных процессов в цепях первого порядка. Это цепи, содержащие только однотипные реактивные элементы (емкости или индуктивности), процессы, в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.10)
Примером цепей первого порядка являются простейшие RL и RC цепи.
Переходные процессы в RL -цепях. Рассмотрим включение RL- цепи к источнику напряжения u (t) (рис. 6.1).
Из рис. 6.1 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток iL (0–) = 0 и цепь находится при нулевых начальных условиях. В момент t = 0 ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, подключив ее к источнику напряжения u (t). После замыкания ключа К в цепи начнется переходный процесс. Для его математического описания выберем в качестве независимой переменной iL = i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК: (6.11)
Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка типа (6.3), решение которого можно записать согласно (6.5) в форме (6.12) где i св — свободная составляющая тока, обусловленная свободными процессами, протекающими в цепи без участия источника u (t); i np — принужденная составляющая тока, обусловленная действием источника напряжения u (t).
Свободная составляющая тока i св есть общее решение однородного дифференциального уравнения (6.13) и согласно (6.7) (6.14) где А — постоянная интегрирования; р — корень характеристического уравнения типа (6.6); (6.15)
Отсюда p = —R/L. Величина 1/| р | носит название постоянной времени цепи. В неразветвленной RL -цепи = L/R.
Принужденная составляющая i пp может быть определена как частное решение уравнения (6.11). Однако, как было указано выше, i пp можно найти более просто методами расчета установившегося режима цепи. Рассмотрим два частных случая:
В первом случае принужденная составляющая может быть определена из установившегося режима: i пp = U/R. Для нахождения постоянной интегрирования A перепишем (6.12) в форме i = Ае–t / + U/R и учтем начальные условия для i, а также первый закон коммутации (6.1):
Отсюда А = —U/R. Таким образом, закон изменения тока в RL- цепи определяется уравнением (6.16)
Напряжение на индуктивности согласно (1.9) (6.17)
На рис. 6.2 изображены графики зависимости i (t) и uL (t). Анализ полученных уравнений (6.16) и (6.17) показывает, что чем больше постоянная времени цепи , тем медленнее затухает переходной процесс. На практике принято считать переходной процесс законченным при t = (3...5), при t = 3 ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t = 5 — более 99%. Графически постоянная времени может определиться как интервал времени на оси t от t = 0 до точки пересечения касательной к uL (рис. 6.2), в указанный момент напряжение на uL уменьшается в е раз по сравнению с начальным.
Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t = 0+ индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t = как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).
Для второго случая принужденная составляющая тока согласно §3.6 где , = arctg( L/R). Постоянная интегрирования определяется из уравнения
Откуда . Следовательно, закон изменения тока в цепи в этом случае будет (6.18)
На рис. 6.3 изображена временная зависимость тока (6.18). Напряжение на индуктивности (6.19) где UmL = LIm.
Анализ уравнения (6.18) показывает, что в случае подключения цепи к источнику u (t) в момент, когда u = ± /2 в последней могут возникать сверхтоки. Если постоянная времени цепи достаточно велика, то скачок тока в начальный период может достигать imax 2 Im. Напротив, при включении цепи в момент, когда u = , в ней сразу наступает установившийся режим. Аналогичная картина наблюдается и с напряжением на индуктивности (6.19).
В качестве второго примера расчета рассмотрим случай ненулевых начальных условий в RL -цепи (рис. 6.4). К моменту коммутации в данной цепи была запасена энергия магнитного поля, равная WL = Li 2(0– )/2, где i (0– ) = U/ (R 0 + R). После коммутации в RL -цепи возникает переходный процесс, описываемый уравнением: (6.20) т. е. i пp = 0. Решая уравнение (6.20), находим с учетом (6.13) – (6.15):
Постоянную А находим из начального условия i (0– ) и закона коммутации (6.1):
Окончательно закон изменения тока в переходном режиме описывается уравнением (6.21)
Напряжение uL определяется как (6.22)
На рис. 6.5 изображены графики i и uL. Следует отметить, что вся энергия WL, запасенная в индуктивности с течением времени, расходуется на тепловые потери в R. При ненулевых начальных условиях L ведет себя как источник тока.
Переходные процессы в RС -цепях. При расчете переходных процессов в RС -цепях в качестве независимой переменной выбирают uC. Затем также составляют дифференциальное уравнение для заданной RС -цепи, решение которого с учетом начальных условий для uC (0) и определяет закон изменения напряжения на емкости.
Рассмотрим вначале RC- цепь при нулевых начальных условиях (рис. 6.6), которая подключается в момент t = 0 к источнику постоянного и (t) = U или синусоидального и (t) = Um sin( t + u ) напряжения. Переходный процесс в данной цепи описывается дифференциальным уравнением (6.23) решение которого ищем также в форме суммы общего и частного решений, определяющих свободную и принужденную составляющие: (6.24)
Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения (6.25) (6.26) где р определяется из характеристического уравнения
Величина RC носит название постоянной времени RC -цепи и обозначается через .
Определим принужденную составляющую uC пp для случая, когда u (t) = U = const. Из рис. 6.6 следует, что в установившемся режиме uC пp = U. Следовательно, с учетом (6.24) и (6.26) уравнение для иC примет вид иC = Ae – t / + U. Для нахождения постоянной интегрирования А учтем нулевые начальные условия для uC (0–) и второй закон коммутации (6.2): uC (0–) = uC (0+) = 0 = A + U, откуда А = — U. Таким образом, получаем окончательно: (6.27)
Ток в цепи определяется согласно (1.12): (6.28)
На рис. 6.7 изображены графические зависимости uС (t) и i (t).
Анализ полученных результатов показывает, что в момент t = 0+ емкость С (при нулевых начальных условиях) ведет себя как короткозамкнутый участок. Напротив, при t = емкость представляет собой бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи для постоянного тока).
Рассмотрим случай гармонического воздействия. Нетрудно видеть что при этом (6.29) где (6.30) а напряжение
Постоянная А находится из начальных условий для uC (0+) при t = 0+:
Окончательно закон изменения напряжения (6.31)
На рис. 6.8 изображен график зависимости uC (t). Анализ уравнения (6.31) показывает, что в случае неудачного включения при u = – и большой в цепи могут возникать перенапряжения, достигающие на емкости величины uCmax 2 UmC. В случае удачного включения, когда u = /2 – , в цепи сразу наступает установившийся режим.
Ток в цепи (6.32)
Рассмотрим теперь случай ненулевых начальных условий, когда емкость С, заряженная до напряжения U, разряжается на сопротивление R (рис. 6.9). К моменту коммутации в емкости была запасена энергия WC = CU 2/2. После коммутации возникает переходный процесс, определяемый уравнением (6.33) т. е. имеет место свободный режим разряда (емкости): (6.34)
Постоянную интегрирования А находим из начального условия для u C(0+) = U и закона коммутации (6.2):
Таким образом, получаем закон изменения напряжения на емкости (6.35) и тока в цепи (6.36)
Знак "–" в уравнении (6.36) для тока свидетельствует о том, что ток разряда направлен противоположно опорному направлению напряжения иС в емкости (см. § 1.2). На рис. 6.10 приведены графики изменения напряжения иС (t) и тока i (t) данной RС -цепи. Следует подчеркнуть, что вся запасенная энергия WC емкости с течением времени преобразуется в элементе R в тепло. При ненулевых начальных условиях С ведет себя как источник напряжения.
|