Задачи по теме «Векторы в пространстве»
1.Даны координаты точек А(-3; 2; -1), В(2; -1;-3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2).
Найдите | 2АВ+3СД |
Решение:
(2+3; -1-2;-3+1)=(5;-3;-2)
(-1-1;2+4;-2-3)=(-2;6;-5).
2 +3 =(10+(-6);-6+18;-4-15)=(4;12;-19).
+3 = =
Ответ:
2. Даны координаты точек С(3; -2; 1), Д(-1; 2; 1), М(2; -3;3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами и .
Решение:
cosα=
CД(-4;4;0) = =4
MN=(-3;4;-5) = =5
Cosα= = =0,7
Ответ:0,7
3. Вычислите угол между векторами (2; -2; 0) и (3; 0; -3).
Решение:
Cos =
ab=2*3+(-2)*0+(-3)*0=6
= =2
= =3
cos = =
=600
Ответ:600
4. При каком значении n данные векторы перпендикулярны: (2; -1;3) и (1;3; n)?
Решение:
ab=2*1-3*(-1)+3n
3n-1=0
3n=1
n=
Ответ:
5.Вычислите координаты вектора 2 +3 + по координатам векторов: (3;1; 1), (-2;0;2)
Решение:
2 + =(2*3;2*1;2*1)+(3*(-2);3*0;3*2)+(1;-1;0)=(6-6+1;2+0-1;2+6)=(1;1;8)
Ответ:(1;1;8)
6.Вычислите значение k, при котором скалярное произведение векторов (2;k;-1) и
(3; -1; 2k) равно(-5)
Решение:
ab=2*3-k-2k
6-k-2k=0
-3k=-11
k=
Ответ:
7.Даны векторы: (-3;-1;2), (5;-2;7). Найдите координаты вектора: - +3 .
Решение:
- =(3;1;-2)+(3*5+3*(-2)+3*7)=(18;-5;-19)
|
|
Ответ:(18;-5;-19)
8.Вычислите длину вектора 2 + 3 , если (3; 1;0), (0;1;-1).
Решение:
=4a +12ab+9b
9+1=10
=1+1=2
=4*10+12+9*2=40+30=70
=
Ответ:
9.Даны две точки А(2;-1;3), В(1;0;4) и вектор (4;-2;-3).
Найдите длину вектора 3 + 5
Решение:
(1-2;0+1;4-3)=(-1;1;1) 3 (-3;3;3)
5 (20;-10;-15)
3 =(17;-7;-12)
=
Ответ:
10.Даны векторы (-1;1;1;) (0;2;-2). Найдите координаты вектора с =(2 +3 )-( -2) +2( - ).
Решение:
=3
=(-3;3;3)+(0;6;-6)=(-3+0;3+6;3-6)=(-3;9;-3)
(-3;9;-3)
Ответ: (-3;9;-3)
11.Найдите скалярное произведение векторов и , если | |=1, | |=2, |a+b|=3.
Решение:
9+ =2+8
a-2ab+b =10-9
-2ab+1+4=1
-2ab=-4
ab=2
Ответ:2
12.Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2) и С(0;2;-1). Найдите точку Д(х;у;z), если векторы АВ и СД равны.
Решение:
х-0=-2 у-2=1 z+1=1
х=-2, у=3, z=0
Д(-2;3;0)
Ответ:Д(-2;3;0)