Теорема по геометрии о сумме углов треугольника

Докажем одну из важнейших теорем геометрии - теорему о сумме углов треугольника.

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

                                           Дано: треуг. АВС

                                            Доказать: угол А + угол В + угол С = 180°.

 

 

Док – во:

1) По аксиоме параллельных прямых, через точку В, мы можем провести прямую ВЕ, параллельную прямой АС.

2) Т.к. ВЕ ǁ АС, то угол 1 = углу 2(накрест лежащие), угол 3 = углу 4 (накрест лежащие).

3) угол 3 + угол 5 + угол 1 = 180°. (развернутый угол)

По пункту 2 можем произвести замену: угол 4 + угол 5 + угол 2 = 180°.

Следовательно, угол А + угол В + угол С = 180°.

 

Определение:Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника.

Угол 4 является вешним углом треугольника (смежный с углом 3).

    Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов не смежных с ним.

Доказать: угол 4 = угол 1 + угол 2.

 

 

Док – во:

угол 3 + угол 4 = 180° (смежные)» угол 3 = 180° - угол 4

угол 1 + угол 2 + угол 3 = 180° (сумма углов треугольника).

Производим замену: угол 1 + угол 2 + (180° - угол 4) = 180°

                       угол 1 + угол 2 + 180° - угол 4 = 180°

                       угол 1 + угол 2 = 180° - 180° + угол 4

                       угол 1 + угол 2 = угол 4.

 

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

        

Остроугольный треугольник. Все три угла острые (меньше 90°)

 

 

Прямоугольный треугольник. Один угол прямой (= 90°), два другие – острые

(меньше 90°)

 

 

Тупоугольный треугольник. Один угол тупой (больше 90°), два другие – острые (меньше 90°)

 

Задача 1.

 

Решение:

а) В треугольнике АВС угол А + угол В + угол С = 180°. Т.к. угол А = 65°, угол В = 57°, то угол С = 180° - 65° - 57° = 68°.

б) В треугольнике АВС угол А + угол В + угол С = 180°. Т.к. угол А = 24°, угол В = 130°, то угол С = 180° - 24° - 130° = 26°.

в) В треугольнике АВС угол А + угол В + угол С = 180°. Т.к. угол А = α,

угол В = 2α, то угол С = 180° - α - 2α = 180° - 3α.

г) В треугольнике АВС угол А + угол В + угол С = 180°. Т.к. угол А = 60° + α, угол В = 60° - α, то угол С = 180° - (60° + α) – (60° - α) = 180° - 60° - α - 60° + α = 180° - 120° = 60°.

 

Задача 2.

Решение:

В треугольнике АВС угол А + угол В + угол С = 180°. Т.к. угол А: угол В: угол С = 2: 3: 4, то 1 часть обозначим за х. Следовательно, угол А = 2х, угол В = 3х, угол С = 4х.

2х + 3х + 4х = 180°

9х = 180°

х = 20° - 1 часть

угол А = 2*20° = 40°

угол В = 3*20° = 60°

угол С = 4*20° = 80°.