2014-02-18
321ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА 3. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ И АВТОКОРРЕЛИРОВАННОСТЬ
.
Идея
Если арсенал это контейнер, пенал и список хранения средств, способов, то троянский конь такой же контейнер. Переместивший из одних мифов в другие, в современности он стал осознаваемой стратегией. Механизмом проникновения, преодоления границы между внешним и внутренним. Для него как бы не существует границы, но он сам состоит из двух частей - то что снаружи, то, что inside.
вид сверху
реализация
размеры
Конструкция делится на несколько блоков, собираемых отдельно. Места крепления к полу - нижняя правая конечность и задняя часть. Плоскости оклеиваются листами a4 с текстом, локальное освещение - люминесцентные лампы.
ТЕКСТИЛЬНАЯ ИНСТАЛЛЯЦИЯ
- это композиции тканевых элементов, составляющие отдельный рельефный арт-объект.
Это - законченный интерьерный фрагмент, выражающий творческое самоощущение
и состояние души, гармонично cуществующий
|
|
|
и в выставочном пространстве, и в витрине,
в оформлении различных помещений кафе, ресторанов, офисов, в оформлении дома.
Скульптура и инсталляции в интерьере
Декоративная скульптура послевоенной эпохи соцреализма была небольшой по размерам и примитивной по содержанию: выбирать приходилось между бюстами вождей и великих писателей или фарфоровыми слониками, танцующими балеринами или пионерами-горнистами. Ситуация стала меняться в «оттепельные» шестидесятые. Особой популярностью в то время пользовались вручную обработанная керамика и цветное стекло, в моду также входило народное творчество, как возвращение к культуре предков: резная богородская игрушка, изделия Гжели, каслинское литье. Эти изделия были, как правило, небольшими по размеру потому, что крупные попросту некуда было бы ставить. интерьером.
Очень важно, в какую обстановку приобретается даже небольшая фарфоровая фигурка, не говоря уже о крупных произведениях. Скульптура, как и живописные полотна, очень эмоционально выразительное украшение, и если по стилю оно не соответствует жилому интерьеру, то внесет диссонанс и разрушит его целостность. Как в антикварный интерьер с дорогой мебелью в стиле барокко не поставишь матрешку, так и в интерьер «кантри» с плетеной мебелью и пэчворком не впишется изящная женская головка из мрамора. И только поменяв их местами, можно создать гармонию в обстановке.
Антикварные интерьеры или воссозданные в наши дни по историческим образцам, вообще не обходятся без скульптурных украшений. Дорогая бронза, тонкий фарфор, мрамор и полудрагоценные камни, резное редких пород дерево или их сочетания – это все материалы для создания скульптурных украшений в интерьерах классических стилей.
|
|
|
Абстрактные скульптурные работы стали создавать конструктивисты в начале прошлого века. Это были выражения мысли, не через конкретный образ, а через ассоциации. Скульптура, даже декоративно-прикладная, должна была не столько радовать взгляд, сколько будить чувства и мысли, иногда даже не совсем конкретные. Авангардные работы конструктивистов привели к появлению новых направлений в декоративной скульптуре: абстрактных форм и инсталляций.
Такие абстрактные формы (напольные, настенные, настольные), выполненные из стекла, керамики, металла или дерева удачно дополняют интерьеры современных стилей, например, минимализма или хай-тек. Только для минималистских интерьеров подойдут лаконичные работы, без излишнего декора, с четкими и простыми формами, а для высокотехнологичных интерьеров понадобятся изделия из новых необычных по фактуре или свойствам материалов.
Фриденсра́йх Хундертва́ссер
С появлением квартир, в которых простор и обилие воздуха становятся характерной чертой, а открытые пространства за окном - частью интерьера, изменилось и отношение к домашней скульптуре.
Обилие в интерьере мелких и хрупких вещей рождает ощущение беспорядка, а красота каждой вещи в отдельности – теряется. Для хранения коллекций небольших скульптур используют специальные витрины.
В инсталляции предметы, объединенные замыслом художника, соединяются между собой или просто ставятся рядом.
Непревзойденными мастерами инсталляций являются жители Востока, предметы в их работах не случайны и почти всегда имеют сложное философское значение.
В монументально-декоративной скульптуре активно используются современные технические средства: движение, звук, световые эффекты.
|
Скульптурно-световая инсталляция на площади Praco do Municipio, г. Ковилья, Португалия
ДЕКОРАТИВНАЯ ЖИВОПИСЬ
— живопись, являющаяся частью архитектурного ансамбля или произведения декоративно-прикладного искусства и предназначенная прежде всего для украшения, а также для подчеркивания конструкции и функции здания или предмета.
К декоративной живописи относятся орнаментальные росписи
или рассчитанные на декоративный эффект изобразительные композиции.
Декоративность - совокупность художественных свойств, усиливающих эмоционально-выразительную и художественно-организующую роль произведений пластических искусств в окружающей человека предметной среде.
Декоративная живопись в архитектуре имеет многие общие цели с монументальной
живописью, отличаясь тем, что декоративная и конструктивная роль являются в ней ведущими.
Иллюзорность - сходство изображения с натурой, граничащее с обманом зрения.
Может проявляться в кажущейся осязаемости, телесности и объемности воспроизводимых на плоскости предметов, в воздушности и стереоскопичности изображенного пространства
|
|
|
Национальный музей Фернана Леже, Бьо.
"Передача энергии".
Церковь Святой Варвары в Бернбахе, в Штирии (Австрия)
ДИЗАЙН
(англ. design, букв. — чертеж, проект, замысел) — особый метод проектирования предметной среды, при котором объекту в соответствии с его основным предназначением придается комплекс взаимосвязанных качеств: красота, целесообразность, экономичность, акцентированная функциональность (или умножение числа функций), физиологическое и психологическое удобство пользования объектом, его четкая социальная ориентация.
То есть в процессе проектировочной деятельности формируются эстетические и функциональные качества предметной среды.
Дизайн — новый вид эстетической деятельности в сфере промышленного производства, призванный решать задачи удовлетворения массового спроса на предметы потребления, обладающие определенными эстетическими характеристиками.
Как осознанное специальное проектирование дизайн появился в кон. 1910-х — нач. 1930-х гг. в России под названием производственное искусство и в Германии, где его центром стала школа Баухауз.
В основе современной мировой практики дизайна находится концепция дизайна как среды, полностью спроектированной и постоянно обновляемой с помощью проектирования, как глобальный метод организации мира, включая решение и социальных проблем. В связи с этим возникло определение, в котором дизайн трактуется как основной метод создания всей материальной, социальной и духовной среды, окружающей человека.
СРЕДА
— окружение; материальное содержание, заполнение пространства; сфера, в которой протекает жизнь.
Понятие среда весьма разнообразное —
от архитектурной (городской, сельской среды, пейзажного окружения),
до световой и воздушной среды (тумана, дождя, снега), и эмоциональной среды.
Архитектура с древности создает особую среду для ритуалов и бытовых обрядов, отделяя ее от обыденного мира.
|
|
|
Ощущение среды часто связано в искусстве с интерьером, уподобленным Вселенной, небесному и земному царствам, с мозаиками и
росписями в храмах, святилищах, молитвенных домах.
Сотворением особой среды являются градостроительство и садово-парковое искусство.
В 20 в. идея создания новой современной социальной и художественной среды для жизни обновленного общества стала вдохновляющим стимулом конструктивизма и «современной архитектуры».
Конструктивизм —авангардистский метод (стиль, направление) в изобразительном искусстве, архитектуре, фотографии и декоративно-прикладном искусстве, получивший развитие в 1920 — нач. 1930 годов.
Характеризуется строгостью, геометризмом, лаконичностью форм и монолитностью внешнего облика.
Конструктивизм - (франц. constructivisme от лат. constructio – построение).
Конструирование – один из приемов формообразования, основанный на точных расчетах физических свойств материалов и функций объекта.
Конструирование составляет один из этапов или компонентов процесса проектирования, главным образом – в области архитектуры и дизайна.
Провозвестниками нового течения (конструктивизма) стали:
- стеклянный павильон для первой Всемирной выставки в Лондоне в1851 году –
«Хрустальный Дворец»,
- мебель «Тонет» (1850–1870-е гг.),
- Эйфелева башня, возведенная для Всемирной выставки в Париже 1889 г.
Эйфелева башня служила входной аркой парижской Всемирной выставки 1889 года. От планировавшегося сноса (через 20 лет после выставки) башню спасли радиоантенны, установленные на самом верху, — это была эпоха внедрения радио.
Клисмос
(греч. Кlismos) элегантная форма греческого стула с одинаково изогнутыми ножками и спинкой. Известно в Греции с 6 века до н.э. функциональность этой утвари стала образцом для дизайнеров нового времени.
Ярчайший и уникальный пример дизайна середины XIX в. - работы выдающегося мастера художника по мебели Михаэля Тонета.
Он создал комплексную программу производства мебели, работающую успешно и по сей день. Предложенные им технологии и приемы конструирования совершили переворот в формообразовании, его венские стулья буквально наводнили весь мир.
- История венского стула - Михаэль Тонет.
В разобранном виде в упаковку емкостью в 1 м3 помещается 36 стульев, состоящих из шести деталей, — Тонет дал пример модульной унификации изделий. Программа включала около двух десятков базовых образцов стульев по 8—10 вариантов исполнения (разные породы дерева, разная отделка). Всего получалось около 600 изделий, включая диваны, кресла, вешалки, качалки и столики.
МОДУЛЬ
(лат. modulus — мера) — в пластических искусствах условная исходная мера,
принятая для выражения кратных отношений размеров целого и составляющих его частей.
В качестве модуля могут быть приняты мера длины, размер элемента фигуры или постройки. Модуль часто входит в систему канона, определяя пропорции идеального целого, придает архитектурным сооружениям гармоническую соизмеримость, облегчает унификацию и стандартизацию в строительстве.
Модуль — одно из основных понятий традиционной канонической системы ордерных пропорций.
В искусстве Древнего Египта наблюдается религиозный, культовый канон, воплощенный в системе правил и предписаний, относитносящихся к внешним нормам иконографии.
Например, сетка квадратов в которую вписывали изображение фигуры человека есть канон.
Ордер (архитект.)
· Ордеры (Древняя Греция)
О рдер архитектурный - тип архитектурной композиции, основанный на художественной переработке стоечно-балочной конструкции и имеющий определённые состав, форму и взаиморасположение элементов.
Ордерная архитектура, сложившаяся в Древней Греции и затем претерпевшая некоторую эволюцию в Древнем Риме сыграла большую роль в развитии европейской архитектуры.
На практике архитекторы Древней Греции постоянно пользовались тем, что малейшее изменение соотношений между частями ордера позволяло придавать ему и сооружению в целом разнообразные масштабность и характер, выражение могучей силы или лёгкого изящества и т.д.
В эпоху Древнего Рима и позже получили распространение многоярусные ордерные композиции, распространилось применение ордера или отдельных его элементов в сочетании со сводчатыми и арочными конструкциями (напр., Колизей)
древне-римские базилики и ротонды
арочные колоннады в эпоху Возрождения
Начиная с 15 в. ордер стал одним из важнейших компонентов западно-европейской архитектуры.
Классици́зм (фр. classicisme, от лат. classicus — образцовый) — художественный стиль и эстетическое направление в европейском искусстве XVII—XIX вв.
Архитектуре классицизма в целом присуща регулярность планировки и четкость объемной формы. Основой архитектурного языка классицизма стал ордер, в пропорциях и формах близкий к античности.
В русском зодчестве ордер начал широко применяться с конца 17 в.
Уса́дьба Куско́во - архитектурно - художественный ансамбль XVIII века
Лоджия деи Ланци на площади Синьории во Флоренции
В качестве примера модели множественной линейной регрессии рассмотрим обобщение предыдущей задачи. Имеются следующие данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего 
(т), мощности пласта 
(ранее обозначалась 
) и уровне механизации работ 
(%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах:
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
|
В предположении, что между переменными , и существует линейная регрессионная зависимость:
1) найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии по и ),
2) найти 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт,
3) проверить значимость коэффициентов регрессии и построить для них 95%-ные доверительные интервалы,
4) найти интервальную оценку для дисперсии 
.
1) Модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:
,
где
е наблюдение зависимой переменной (
),
объясняющие переменные,
я случайная составляющая, характеризующая отклонение от функции регрессии.
Введем обозначения: 
матрица-столбец, или вектор, значений зависимой переменной размера 
; 
матрица-столбец, или вектор,параметров размера 
; 
матрица-столбец, или вектор, возмущений (случайных ошибок, остатков) размера ;
- матрица-столбец, или вектор, значений объясняющих переменных размера 
; в матрицу дополнительно введен столбец, все элементы которого равны 1, т.е. предполагается, что свободный член 
умножается на фиктивную переменную 
, принимающую значение 1 для всех 
: 
.
Тогда в матричной форме модель множественной линейной регрессии примет вид:
.
Оценкой этой модели по выборке является уравнение
,
где 
, 
.
Для оценки вектора неизвестных параметров 
применим метод наименьших квадратов, согласно которому вектор неизвестных параметров выбирается таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений 
от значений 
, найденных по уравнению регрессии, была минимальной:
,
при этом используется свойство произведения 
. С учетом свойства транспонирования произведения матриц 
после раскрытия скобок условие минимизации примет вид:
.
Можно доказать, что задача минимизации функции 
сводится к определению вектора 
неизвестных параметровиз следующего матричного уравнения:
,
при этом матрица 
сумм первых степеней, квадратов и попарных произведений наблюдений и вектор
произведений наблюдений объясняющих и зависимой переменных имеют вид:
, 
.
Решением матричного уравнения является вектор
,
где 
матрица, обратная матрице коэффициентов 
, 
матрица-столбец, или вектор, ее свободных членов.
Зная вектор , выборочное уравнение множественной регрессии можно представить в виде:
,
где 
групповая (условная) средняя переменной при заданном векторе значений объясняющей переменной 
.
Для заданного примера
, 
.
Для удобства вычислений составляем вспомогательную таблицу.
|
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 5,13 | 0,016 | ||||||||||
| 8,79 | 1,464 | ||||||||||
| 9,64 | 0,130 | ||||||||||
| 5,98 | 1,038 | ||||||||||
| 5,86 | 0,741 | ||||||||||
| 6,23 | 0,052 | ||||||||||
| 6,35 | 0,121 | ||||||||||
| 5,61 | 0,377 | ||||||||||
| 5,13 | 0,762 | ||||||||||
| 9,28 | 1,631 | ||||||||||
| − | 4,701 |
Вычислим матрицу сумм первых степеней, квадратов и попарных произведений наблюдений и векторпроизведений наблюдений объясняющих и зависимой переменных:
, 
.
Матрицу 
определим по формуле 
, где 
определитель матрицы ; 
матрица, присоединенная к матрице . В результате получим:
.
Умножая эту матрицу на вектор
, получим:
.
С учетом равенства уравнение множественной регрессии имеет вид:
.
Оно показывает, что при увеличении только мощности пласта (при неизменном ) на 1 м добыча угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,854 т, а при увеличении только уровня механизации работ (при неизменном ) – в среднем на 0б367 т.
Добавление в регрессионную модель объясняющей переменной изменило коэффициент регрессии 
с 1,016 для парной регрессии до 0,854 – для множественной регрессии. Это объясняется тем, что во втором случае коэффициент регрессии позволяет оценить прирост зависимой переменной при изменении на единицу объясняющей переменной в чистом виде, независимо от . В случае парной регрессии учитывает воздействие на не только переменной , но и косвенно корреляционно связанной с ней переменной .
2) Формулы, используемые при построении доверительных интервалов для индивидуального и среднего значений, можно получить из аналогичных формул парной модели, изменив число степеней свободы 
на 
. Так, 95%-ный доверительный интервал для индивидуального значения 
можно рассчитать по формуле:
,
где 
. С учетом того, что 
и 
(т) окончательно получим:
или 
(т).
Итак, с надежностью 0,95 индивидуальная сменная добыча угля на одного рабочего в шахтах с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации 6% находится в пределах от 3,05 до 7,93 т.
3) Проверим значимость коэффициентов регрессии 
и 
. Коэффициент 
значимо отличается от нуля (иначе – гипотеза 
о равенстве параметра нулю, т.е. :
, отвергается) на уровне значимости 
, если
,
где 
табличное значение 
критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости 
при числе степеней свободы . Отсюда следует соотношение для построения доверительного интервала для параметра 
:
.
Итак, значимость коэффициентов регрессии проверяется путем расчета средних квадратичных отклонений (стандартных ошибок) этих коэффициентов по формуле
(где 
диагональный элемент матрицы 
) и использования табличного значения 
:
, 
;
, 
.
Из неравенств 
и 
следует, что коэффициент значим, а коэффициент 
незначим.
Доверительный интервал имеет смысл построить только для значимого коэффициента . Подстановка числовых данных в соотношение
дает:
или 
.
Итак, с надежностью 0,95 за счет изменения на 1 м мощности пласта (при неизменном ) сменная добыча угля на одного рабочего будет изменяться в пределах от 0,322 до 1,376 (т).
4) Найдем 95%-ный доверительный интервал для дисперсии , который в множественной регрессии строится аналогично парной модели по формуле
с соответствующим изменением числа степеней свободы критерия 
:
.
С учетом соотношения 
возьмем из таблицы 
распределения 
, 
и по этой формуле найдем 95%-ный интервал для параметра :
или 
и 
.
Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 0,565 до 5,349, а их стандартное отклонение – от 0,751 до 2,313 (т).
2.2. Свойства оценок, полученных методом наименьших квадратов (МНК)
Зависимая переменная 
в теоретической модели регрессии
имеет две составляющие: неслучайную составляющую
и случайную составляющую 
. Получаемые с помощью МНК оценки 
коэффициентов регрессии 
также можно представить в виде двух составляющих – неслучайной и случайной.
Неслучайные составляющие оценок равны параметрам , тогда как случайные составляющие этих оценок зависят от случайной составляющей теоретической модели регрессии 
.
На практике разложить коэффициенты регрессии на составляющие довольно затруднительно, так как значения и неизвестны.
Регрессионный анализ, основанный на применении метода наименьших квадратов (МНК), дает наилучшие из всех возможных результаты, если выполняются следующие условия (называемые условиями Гаусса-Маркова):
1. Математическое ожидание случайного слагаемого в любом м наблюдении должно быть равно нулю – 
.
2. Дисперсия случайного слагаемого должна быть постоянной для всех наблюдений – 
, где 
теоретическое значение среднеквадратической ошибки.
3. Случайные слагаемые должны быть статистически независимы, т.е. должно выполняться свойство некоррелированности их между собой.
4. Объясняющие переменные 
должны быть величинами неслучайными.
При выполнении условий Гаусса-Маркова модель
называется классической нормальной линейной регрессионной моделью. Наряду с условиями Гаусса-Маркова предполагается, что случайное слагаемое 
имеет нормальное распределение. При этом предположении требование некоррелированности значений случайного слагаемого эквивалентно их независимости.
Первое условие означает, что нет постоянно действующего фактора, не включенного в модель, но оказывающего влияние на результативный фактор. Другими словами, случайное слагаемое не должно иметь систематического смещения. Если постоянное слагаемое включено в уравнение регрессии, то можно считать, что это условие выполняется автоматически, так как роль постоянного слагаемого как раз и заключается в том, чтобы учитывать постоянную тенденцию показателя , не учтенную в уравнении регрессии.
Если не выполнено это условие, то оценки параметров уравнения регрессии, поученное с помощью МНК, будут неэффективными и смещенными.
Второе условие означает, что дисперсия случайного слагаемого в каждом наблюдении имеет только одно значение. Другими словами, не должно быть априорной причины для того, чтобы в одних наблюдениях величина была больше, чем в других, хотя на практике величина остатков уравнения регрессии в разных наблюдениях будет разной. Но ее величина заранее неизвестна, и одна из первоочередных задач регрессионного анализа состоит в ее оценке.
Если дисперсии случайного слагаемого зависят от номера наблюдения (т.е. выполняется условие гетероскедастичности), то оценки коэффициентов регрессии, полученные с помощью МНК, будут неэффективными и смещенными. Поэтому (по крайней мере, формально) можно получить более надежные оценки с использованием других методов.
Так как условия Гаусса-Маркова предполагают независимость дисперсии случайного слагаемого от номера наблюдения (т.е. предполагает выполнение условия гомоскедастичности), то разработаны специальные методы диагностирования и устранения гетероскедастичности. Характерная диаграмма рассеяния для одного из возможных вариантов гетероскедастичности показана на рис. 2.
Рис. 2. Случай гетероскедастичности остатков
Третье условие указывает, что между значениями случайного слагаемого в разных наблюдениях нет систематической связи, т.е. указывает на некоррелированность (на независимость) случайных слагаемых для разных наблюдений. Если это условие нарушается (например, для временных рядов), то имеет место автокорреляция остатков, оценки коэффициентов регрессии, полученные МНК, оказываются неэффективными. Существуют методы диагностирования и устранения автокорреляции.
Если четвертое условие (о том, что объясняющие переменные должны быть неслучайными) не выполняется, то оценки коэффициентов регрессии оказываются смещенными и несостоятельными.
Теорема Гаусса-Маркова
Если перечисленные четыре условия выполняются, то оценки, сделанные с помощью МНК, являются наилучшими оценками, так как они обладают свойствами:
1) несмещенности, что означает отсутствие систематической ошибки в положении линии регрессии;
2) эффективности – имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок;
3) состоятельности – при достаточно большом объеме данных оценки приближаются к истинным значениям.
Если условия Гаусса-Маркова не выполнены, то можно найти другие оценки параметров уравнения регрессии, которые будут более эффективными по сравнению с оценками, найденными методом МНК.
Кроме того, если не выполнены условия Гаусса-Маркова, то становятся неприменимы t-тесты и тест Фишера на качество оценивания и адекватность уравнения регрессии.
2.3. Анализ вариации зависимой переменной. Качество оценивания в модели множественной линейной регрессии
Пусть в уравнении регрессии содержится 
объясняющих переменных. Дисперсию зависимой переменной можно представить в виде суммы объясненной и необъясненной составляющих:
,
где:
остаток в м варианте реализации событий;
значение зависимой переменной в м варианте реализации событий;
среднее значение зависимой переменной;
расчетное значение зависимой переменной в м варианте реализации событий, определяемое уравнением регрессии;
число реализации событий, в каждом из которых при сочетании значений независимых переменных было получено значение зависимой переменной.
Каждая сумма в этом разложении имеет собственное название:
· 
― общий разброс зависимой переменной (обозначается 
);
· 
― разброс, объясненный регрессией (обозначаетсяRSS);
· 
― разброс, не объясненный регрессией (обозначаетсяESS).
Используя введенные обозначения, разложение дисперсии зависимой переменной можно записать в виде суммы:
TSS=RSS+ESS.
Мерой объясняющего качества уравнения регрессии по сравнению с оценкой в виде среднего значения 
является коэффициент детерминации 
, который измеряет долю дисперсии, совместно объясненной всеми независимыми переменными:
R2=RSS/TSS=1-ESS/TSS.
В случае коррелированности независимых переменных объясняющие способности этих переменных могут перекрываться. Для компенсации такого увеличения вводится приведенный (скорректированный) коэффициент детерминации с поправкой на число независимых переменных, которым можно варьировать (называемое иначе числом степеней свободы):
ВМЕСТО USS пишется ESS!!!!!
.
Если при добавлении новой переменной (при этом уменьшается на 1 число степеней свободы) увеличение доли объясненной регрессии мало, то скорректированный коэффициент детерминации 
может уменьшаться, следовательно, добавлять новую переменную не следует.
Качество оценок для модели множественной линейной регрессии предполагает определение статистической значимости полученных коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
Значимость коэффициентов уравнения регрессии 
оценивается с помощью критерия 
:
,
где 
стандартные ошибки коэффициентов регрессии.
Величина 
имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы, где:
число пар данных в выборке, использованных для получения уравнения регрессии;
количество коэффициентов в уравнении регрессии.
Алгоритм оценки значимости для коэффициентов уравнения регрессии состоит в следующем:
1) вычисляется наблюдаемое значение критерия ;
2) по таблице распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находится критическое значение 
;
3) вычисленные критерии 
и 
сравниваются с критическим значением .
Если 
, то соответствующий коэффициент уравнения регрессии значим и принимается. Если 
, то соответствующий коэффициент уравнения регрессии незначим, не отличается от нуля и не принимается.
В эконометрике проверку гипотез осуществляют при 5%-м, реже на 10%-м уровне значимости. В первом случае стандартная ошибка оценки коэффициента регрессии составляет примерно до половины его величины. Последовательное исключение несущественных факторов (переменных), коэффициенты при которых оказались незначимы, составляют основу пошагового регрессионного анализа.
Для определения статистической значимости коэффициента детерминации используется 
статистика:
,
где:
число пар данных в выборке, использованных для получения уравнения регрессии;
количество коэффициентов в уравнении регрессии.
Величина 
имеет распределение Фишера с 
степенями свободы. Вычисленный критерий сравнивается с критической величиной 
следующим образом:
если 
, то считается незначимым, он не отличим от нуля;
если 
, то считается значимым, и уравнение регрессии может использоваться для объяснения изменения переменной под влиянием изменения переменных 
.
Величины критических значений критериев оценки значимости принимаются при 5%-м, реже при 10%-м уровне значимости. Указанные уровни значимости соответствуют 95%-му и 90%-му доверительным интервалам соответственно.
2.4. Дополнительные аспекты использования метода наименьших квадратов (МНК)
2.4.1. Влияние мультиколлинеарности
Мультиколлинеарность – это коррелированность двух или нескольких объясняющих переменных в уравнении множественной линейной регрессии. При наличии мультиколлинеарности оценки, формально полученные методом наименьших квадратов (МНК), обладают рядом недостатков:
1) небольшое изменение исходных данных приводит к существенному изменению оценок регрессии;
2) оценки имеют большие стандартные ошибки, малую значимость, в то время как модель в целом является значимой (при больших коэффициентах детерминации ).
Если при оценке уравнения регрессии несколько факторов оказались незначимыми, то нужно выяснить наличие среди них факторов, сильно коррелированных между собой. При наличии корреляции один из пары связанных между собой факторов исключается. Если статистически незначим лишь один фактор, то он должен быть исключен или заменен другим показателем. В модель регрессии включаются те факторы, которые более сильно связаны с зависимой переменной, но слабо связаны с другими факторами.
2.4.2. Спецификация переменных в уравнениях множественной линейной регрессии
Построение эконометрической модели включает в себя обоснование решения о том, какие объясняющие переменные необходимо включить в уравнение множественной линейной регрессии, т.е. как правильно составить спецификацию модели, от которой в значительной степени зависят свойства оценок коэффициентов регрессии. Здесь возможны две ситуации.
1) В модели отсутствует переменная, которая должна быть включена.
Предположим, что переменная зависит от двух переменных. Однако в модель включена только одна независимая переменная 
:
.
В этом случае оценка и ее дисперсия являются смещенными. Смещенность оценки связана с тем, что при отсутствии второй переменной 
в регрессии переменная 
играет двойную роль: отражает свое прямое влияние и заменяет переменную в описании ее влияния. Для данной регрессии коэффициент детерминации , отражающий общую объясняющую способность переменной в обеих ролях, завышен.
2) В модели включена переменная, которая не должна быть включена.
В этом случае оценки коэффициентов регрессии и их дисперсии являются несмещенными, но не эффективными. Если обнаруживается, что коэффициенты при излишних переменных статистически незначимы, то эти переменные исключаются из модели.
2.4.3. Фиктивные переменные
При исследовании влияния качественных признаков на объясняемую (зависимую) переменную в модель множественной линейной регрессии следует вводить фиктивные переменные, принимающие, как правило, два значения: 1, если данный признак присутствует в наблюдении; 0 – при его отсутствии.
Если включаемый в рассмотрение качественный признак имеет не два, а несколько значений, то используют несколько фиктивных переменных, число которых должно быть на единицу меньше числа значений признака. При назначении фиктивных переменных исследуемая совокупность по числу значений качественного признака разбивается на группы. Одну из групп выбирают как эталонную и определяют фиктивные переменные для остальных.
Если качественный признак имеет два значения, то достаточно ввести одну фиктивную переменную. Например, строится модель, характеризующая показатели предприятий двух отраслей промышленности: электроэнергетики и газовой промышленности. Вводится фиктивная переменная, которой присваивается значение 0, если данные относятся к предприятиям электроэнергетики, и значение 1, ес
