Правила Кирхгофа расчета цепей постоянного тока

В теории цепей постоянного тока обычно ставятся следующие задачи 1) вычисление тока или напряжения на любом элементе схемы, если задан ее вид и параметры элементов, подключение источников тока и их напряжения 2) вычисление полного сопротивления цепи. Эти задачи могут быть решены на основе общего метода, опирающегося на законы сохранения. С помощью него можно рассчитывать любые цепи постоянного тока.

Этот метод состоит из двух утверждений, называемых правилами Кирхгофа. Узлом называется точка цепи, к которой присоединяются три или более элементов цепи. Поскольку заряд в узле не накапливается, то количество его, втекающего в узел в единицу времени должно быть равно количеству заряда, покидающего узел. То есть, сумма токов, втекающих в узел, должна быть равна сумме вытекающих токов.

Видно, что на рисунке в узел втекает ток i₁, а вытекают i₂ i₃ i₄. Поэтому . Ясно, что в узел должен втекать хотя бы один ток, и хотя бы один должен вытекать. Видно, что это простое правило непосредственно следует из закона сохранения заряда.

Второе правило использует понятие контура. Контуром называется последовательность нескольких узлов, связанных элементами цепи. Если узлы не повторяются, то контур является простым. Рассмотрим простой контур ABDCA

В курсе 8 класса мы рассмотрим лишь контуры с элементами, не содержащими источников тока (пассивными). В данном случае, это резисторы. Для описания контура необходимо выбрать направление его обхода. Мы выбрали направление по часовой стрелке, хотя можно было и наоборот. Падение напряжения на участке АВ равно согласно закону Ома. Аналогично можно найти , , . В последней формуле стоит знак -, поскольку ток i₁ направлен против нашего обхода контура, то есть, двигаясь в этом направлении по резистору R₁ мы идем против электрического поля. Оно, тем самым, совершает отрицательную работу. Теперь становится ясно, чему равна сумма падений напряжения по замкнутому контуру ABDCA. Ведь это работа сил электрического поля (отнесенная к единичному заряду). Источников в этом контуре нет, поэтому энергию взять неоткуда. Если бы работа сил поля была отлична от 0, то получился бы источник бесконечной энергии, производимой силами электрического поля. Отсюда вывод . Этот простой вывод, полученный из закона сохранения энергии называется Вторым правилом Кирхгофа. Выражая напряжения через токи, получим . Если контур не замкнут, то полное падение напряжения между его концами равно сумме падений напряжений на его элементах. Поскольку полная работа сил электрического поля есть сумма работ на последовательных участках контура.

Покажем на примере, как использовать эти правила, заодно прояснив некоторые вопросы. Для этого используем мостовую схему, к которой нельзя применить свойства симметрии. Однако некоторую симметричность мы ей все-таки придадим, чтобы математическая часть задачи была не очень громоздкой.

Сопротивления обозначены на схеме, а источник с напряжением U подключен так, что его + соответствует левой клемме, и, следовательно, полный ток цепи, обозначенный буквой i, течет по часовой стрелке. Поэтому однозначно определены направления токов через резисторы R и 2R, однако куда течет ток через резистор 3R сразу сказать нельзя. Поступим так. Выберем его направление так, как нам захочется (вниз), а затем будем решать задачу. Если вдруг в процессе решения ток i₃ окажется отрицательным, то на самом деле он течет снизу вверх. Уравнения сами скажут нам, куда реально направлен этот ток. Для упрощения наших уравнений легко догадаться, что токи через резисторы R будут одинаковыми. Ведь изменение полярности источника приведет к изменению направлений всех токов, причем резисторы R «поменяются местами». То же можно сказать о токах через резисторы 2R. Обозначив узлы и токи как на рисунке, можно приступить к составлению уравнений. Наша задача – найти полное сопротивление между точками АС и токи во всех элементах, при условии, что к точкам АС приложено напряжение U.

В узле А выполнено соотношение . В узле В выполнено соотношение .

Легко сообразить, что узлы C и D дадут такие же уравнения, и ничего нового из них не получишь. Замкнутых контуров в цепи два: ABDA и BCDB. Видно, что они полностью идентичны. Выберем первый контур с направлением обхода по часовой стрелке. . Видно, что этих уравнений недостаточно. Ведь токи зависят от напряжения U, а оно пока не входит в наши уравнения. Для этого нужно взять незамкнутый контур АВС . Поэтому . Получена система уравнений

(1)

(2)

(3)

(4)

Она состоит из четырех неизвестных токов, которые могут быть выражены. Три последних уравнения не содержат тока i. Выразив первый ток из второго уравнения, подставляем его в (3) и (4).

Теперь возвращаемся к току i.

Теперь можно вычислить полное сопротивление цепочки.

Задача полностью решена, поскольку вычислены все токи и полное сопротивление. Пользуясь этим универсальным (но далеко не простым в расчетах) методом, можно решать любые задачи о цепях постоянного тока.