Эта система координат вводится при помощи соотношений
x = rcosj, y = rsinj, z = z,
т.е. q 1 = r, q 2 = j, q 3 = z.
Очевидно, что координатные линии r (или q 1 линии) представляют собой прямые, проходящие через ось Oz, перпендикулярно этой оси (см. рис. 9.2). Координатные линии j (q 2 линии) – окружности с центром на оси Oz, плоскости которых параллельны плоскости xOy.
Координатные линии z (q 3 линии) – прямые, параллельные оси Oz.
Найдем векторы r 1, r 2, r 3:
,
,
.
Непосредственно легко убедится, что базис { r 1, r 2, r 3} является ортогональным.
Вычислим коэффициенты Ламе для цилиндрических координат
(9.23)
В таком случае основные дифференциальные операции векторного анализа будут иметь вид:
, (9.24)
, (9.25)
, (9.26)
, (9.27)
Пример 9.1. Перейти к цилиндрической системе координат для векторного поля
и найти div a и rot a.
Решение. Так как в данном случае x i +y j =r r 1, то
,
т.е.
Тогда
,
.